已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $ a_{n+1}=\begin{cases} \dfrac{a_n^2}{2a_n-2},&2\nmid n,\\ 2a_n-2,&2\mid n,\end{cases} $ 且 $ a_1=a$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若 $a>1$，求证：当 $n\geqslant 2$ 时，有 $a_n\geqslant 2$；标注答案略解析根据题意，有\[a_{n+1}=\begin{cases} 1+
\dfrac 12\left[(a_n-1)+\dfrac{1}{a_n-1}\right],&2\nmid n,\\
2(a_n-1),&2\mid n,\end{cases}\]而\[a_2=1+\dfrac 12\left[(a-1)+\dfrac{1}{a-1}\right]\geqslant 2,\]利用数学归纳法容易证明当 $n\geqslant 2$ 时，$a_n\geqslant 2$，命题成立． -
若 $a=3$，求证：$4n+\dfrac 54\leqslant a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{2n}<4n+\dfrac 52$．标注答案略解析根据第 $(1)$ 小题的结果，有\[\begin{split}\sum_{k=1}^{2n}a_k&=a_1+a_2+\sum_{k=3}^{2n}a_k\\
&\geqslant 3+\dfrac 94+2(2n-2)\\
&=4n+\dfrac 54,\end{split}\]因此左边不等式得证．
根据题意，有\[a_{n+2}=\begin{cases} (a_n-1)+\dfrac{1}{a_n-1},&2\nmid n,\\
1+\dfrac 12\left[(2a_n-3)+\dfrac{1}{2a_n-3}\right],&2\mid n,\end{cases}\]于是\[\dfrac{a_{n+2}-2}{a_n-2}=\begin{cases} \dfrac{a_n-2}{a_n-1},&2\nmid n,\\
\dfrac{2(a_n-2)}{2a_n-3},&2\mid n,\end{cases}\]容易证明\[2<a_n\leqslant 3,\]于是\[\dfrac{a_{n+2}-2}{a_n-2}\leqslant\dfrac 12,\]于是\[\begin{split}\sum_{k=1}^{2n}(a_{k}-2)&\leqslant \left[(a_1-2)+(a_2-2)\right]\cdot \left(1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\\
&=\dfrac 54\cdot \left(2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)\\
&<\dfrac 52,\end{split}\]因此右边不等式得证．
综上所述，原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
