已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x\sin x$,$g(x)=\sin x-\sqrt 2 \mathrm{e}^x$,其中 $\mathrm{e}$ 是自然对数的底数.若 $x>-1$,求证:$f(x)-g(x)>0$.
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
即证$$\forall x>-1, \mathrm{e}^x(\sqrt2 +\cos x)-(x+1)\sin x>0,$$仅需证明$$\forall x>-1,\mathrm{e}^x(\sqrt2+\cos x)-(x+1)\cdot|\sin x|>0,$$记上述不等式左侧为 $LHS$,则$$LHS\geqslant (x+1)\cdot(\sqrt2+\cos x-|\sin x|)\geqslant 0,$$第一个不等号取等条件为 $x=0$,第二个不等号取等条件不为 $x=0$,因此$$LHS>0.$$证毕.
答案
解析
备注