$\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i=0,\sum_{i=1}^n|b_i|=1$，求证：$\displaystyle\left|\sum_{i=1}^na_ib_i\right|\leqslant \dfrac12\left(\max \limits_{1\leqslant i\leqslant n} a_i-\min \limits_{1\leqslant i\leqslant n} a_i\right)$，其中 $a_1,\cdots,a_n,$ $b_1,\cdots,b_n$ 为实数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$\sum_{b_i\geqslant 0}|b_i|=\sum_{b_i<0}|b_i|=\dfrac12,$$不妨设$$a_1\geqslant a_2\geqslant \cdots\geqslant a_n,$$则$$\begin{split} &\sum_{i=1}^n a_ib_i\leqslant a_1\sum_{b_i\geqslant 0}|b_i|-a_n\sum_{b_i<0}|b_i|=\dfrac12(a_1-a_n), \\
&\sum_{i=1}^n a_ib_i\geqslant a_n\sum_{b_i\geqslant 0}|b_i|-a_1\sum_{b_i<0}|b_i|=\dfrac12(a_n-a_1), \end{split} $$于是证毕．
&\sum_{i=1}^n a_ib_i\geqslant a_n\sum_{b_i\geqslant 0}|b_i|-a_1\sum_{b_i<0}|b_i|=\dfrac12(a_n-a_1), \end{split} $$于是证毕．
答案
解析
备注
