已知 $k<n$ 且 $n,k\in\mathbb N^\ast$，$a_1,a_2,\cdots,a_n\in(k-1,k)$，若正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 满足：对任意 $k$ 元集合 $I\subset\{1,2,\cdots,n\}$ 有 $\displaystyle\sum_{i\in I} x_i\leqslant \sum_{i\in I} a_i$．求 $\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a_i-x_i=b_i$，则 $\displaystyle\sum_{i\in I}b_i\geqslant 0$，不妨设$$b_1\leqslant b_2\leqslant \cdots\leqslant b_n.$$则 $\displaystyle\sum_{i=1}^k b_i\geqslant 0$，而$$\prod_{i=1}^n x_i=\prod_{i=1}^n a_i\cdot\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac{b_i}{a_i}\right),$$且$$\prod_{i=1}^n\left(1-\dfrac{b_i}{a_i}\right)^{\frac1n}\leqslant 1-\dfrac1n\cdot \sum_{i=1}^n\dfrac{b_i}{a_i},$$若 $b_1$ 非负，则显然，否则$$b_1\leqslant \cdots \leqslant b_l <0 \leqslant \cdots \leqslant b_n, $$则 $1\leqslant l<k<n$，于是$$\sum_{i=1}^n \dfrac{b_i}{a_i}>\sum_{i=1}^l\dfrac{b_i}{k-1}+\sum_{i=l+1}^n\dfrac {b_i}{k}\geqslant \sum_{i=l+1}^n \dfrac{b_i}{k}-\sum_{i=l+1}^k\dfrac{b_i}{k-1},$$又结合$$b_1\leqslant b_2\leqslant \cdots\leqslant b_n$$可知$$\dfrac1k\sum_{i=l+1}^nb_i\geqslant \dfrac1{k-1}
\sum_{i=l+1}^kb_i.$$
\sum_{i=l+1}^kb_i.$$
答案
解析
备注
