若 $a_1,\cdots,a_n$ 为互不相同的实数，$\displaystyle S=\sum_{i=1}^n a_i^2$，$M=\min\limits_{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_i-a_j)^2$，求证：$\dfrac{S}{M}\geqslant \dfrac{n(n^2-1)}{12}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由对称性，不妨设 $a_1<a_2<\cdots <a_n$，则$$|a_i-a_j|\geqslant \sqrt M|i-j|,$$故$$\sum_{i<j}(a_i-a_j)^2\geqslant M\cdot\sum_{i<j}(i-j)^2=\dfrac1{12}n^2(n^2-1)M.$$而$$\sum_{i<j}(a_i-a_j)^2=n\sum_{i=1}^na_i^2-\left(\sum_{i=1}^na_i\right)^2\leqslant nS.$$故$$nS\geqslant \dfrac1{12}n^2(n^2-1)M,$$即$$\dfrac SM\geqslant \dfrac{n(n^2-1)}{12}.$$
答案
解析
备注
