题目 一个函数 $f(x)$，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 $a,b,c$ 都在 $f(x)$ 的定义域内，就有 $f(a),f(b),f(c)$ 也是某个三角形的三边长，则称 $f(x)$ 为“保三角形函数”． 问题1 判断 $f_1(x)=x$，$f_2(x)={\log_2}(6+2\sin x-\cos^2x)$ 中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由； 答案1 $f_1(x),f_2(x)$ 都是保三角形函数 解析1 因为 $f_1(x)=x$，所以当 $a,b,c$ 构成三角形时，$$f_1(a)=a,f_1(b)=b,f_1(c)=c$$也构成同样的三角形，所以 $f_1(x)$ 是保三角形函数；<br/>因为$$f_2(x)={\log_2}[(\sin x+1)^2+4]\in[2,3],$$所以 $f_2(a),f_2(b),f_2(c)$ 中任意两边的和大于等于 $4$，所以 $f_2(x)$ 是保三角形函数． 备注1 问题2 若函数 $g(x)=\ln x(x\in[M,+\infty))$ 是“保三角形函数”，求 $M$ 的最小值； 答案2 $2$ 解析2 不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，则 $a,b,c$ 构造三角形只需要 $a+b>c$ 即可．因为 $g(x)$ 是增函数，所以只需要满足$$g(a)+g(b)>g(c)$$即可，即$$\ln a+\ln b=\ln(ab)>\ln c,$$也即 $a+b>c$ 时有 $ab>c$．下面考虑 $ab$ 与 $a+b$ 的大小关系：<br/>若 $ab<a+b$，此时 $c\in(ab,a+b)$，则 $g(x)$ 不是保三角形函数，所以 $ab\geqslant a+b$ 即可，作差即$$ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1\geqslant 0.$$因为 $a\geqslant M,b\geqslant M$，所以 $(M-1)^2-1\geqslant 0$ 即可，解得 $M\geqslant 2$，所以 $M$ 的最小值为 $2$． 备注2 问题3 若函数 $h(x)=\sin x(x\in(0,A))$ 是“保三角形函数”，求 $A$ 的最大值． 答案3 $\dfrac 56\pi$ 解析3 $A$ 的最大值为 $\dfrac 56\pi$．<br/><case>情形一</case>若 $A>\dfrac 56\pi$，则取 $(a,b,c)=\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac 56\pi,\dfrac 56\pi\right)$，即为反例；<br/><case>情形二</case>若 $A=\dfrac 56\pi$，不妨设$$a=\min\{a,b,c\},$$（i）若 $a>\dfrac{\pi}6$，则$$f(a)+f(b)>1\geqslant f(c),f(a)+f(c)>1\geqslant f(b),f(b)+f(c)>1\geqslant f(a),$$所以 $f(a),f(b),f(c)$ 构成三角形；<br/>（ii）若 $0<a\leqslant\dfrac{\pi}6$，易知$$f(a)=\min\{f(a),f(b),f(c)\},$$由对称性知只需要证明$$ f(a)+f(b)>f(c).$$因为 $a,b,c$ 构成三角形，且 $a\geqslant\dfrac{\pi}6$，所以$$c<a+b<\dfrac{\pi}6+\dfrac 56\pi=\pi,$$从而有$$\sin\dfrac{a+b}2>\sin\dfrac c2.$$另一方面有$$0\leqslant |a-b|<c<\dfrac 56\pi,$$所以$$ \cos\dfrac{a-b}2>\cos\dfrac c2>0,$$所以$$\begin{split} f(a)+f(b)=&\sin a+\sin b\\=&2\sin\dfrac{a+b}2\cos\dfrac{a-b}2\\>&2\sin\dfrac c2\cos\dfrac c2=\sin c=f(c),\end{split}$$所以命题得证．<br/>综上知 $A$ 的最大值为 $\dfrac 56\pi$． 备注3