若正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 满足 $x_1+x_2+\cdots+x_n=1$，求证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{\sqrt{1-x_i}}\geqslant \sum_{i=1}^n\dfrac{\sqrt{x_i}}{\sqrt{n-1}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x_1\leqslant \cdots\leqslant x_n$，则$$\dfrac1{\sqrt{1-x_1}}\leqslant\cdots\leqslant \dfrac1{\sqrt{1-x_n}},$$由Chebyshev不等式，可知有$$\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{\sqrt{1-x_i}}\geqslant\dfrac1n \left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\dfrac1{\sqrt{1-x_n}}\right),$$由幂平均不等式以及Cauchy不等式有$$\dfrac1n\sum_{i=1}^n\dfrac1{\sqrt{1-x_i}}\geqslant \left(\frac1n\sum_{i=1}^n(1-x_i)\right)^{-\frac12}=\sqrt{\dfrac{n}{n-1}}\geqslant \dfrac1{\sqrt{n-1}}\cdot\sum_{i=1}^n\sqrt{x_i}.$$证毕．
答案
解析
备注
