已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $ab+bc+ca=1$，求 $\dfrac1{a+b}+\dfrac1{b+c}+\dfrac1{c+a}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $(a,b,c)=(0,1,1)$ 时，所求表达式最小值为 $\dfrac52$
【解析】
记所求表达式为 $f(a,b,c)$，不妨 $a\leqslant b\leqslant c$，采用调整法，则$$f(a,b,c)\geqslant f\left(0,a+b,\dfrac1{a+b}\right)$$即$$(a+b)^2ab\leqslant 2(1-ab),$$而$$2(1-ab)=2c(a+b)\geqslant (a+b)^2\geqslant (a+b)^2ab,$$故只需考虑$$f\left(0,t,\dfrac 1t\right)=t+\dfrac1t+\dfrac1{1+\frac1t},$$由于 $t+\dfrac1t\geqslant 2$，当且仅当 $t=1$ 时取等，所以$$f\left(0,t,\dfrac1t\right)\geqslant \dfrac52,$$上述不等式当且仅当 $(a,b,c)=(0,1,1)$ 时取等，因此所求表达式最小值为 $\dfrac52$．
答案
解析
备注
