若实数 $x_1,\cdots,x_n$ 均不为 $0$,且满足 $x_1+\cdots+x_n=0$,求 $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i^2}\right)$ 的最小值.
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
当 $n$ 为偶数时 $M$ 的最小值为 $n^2$,$n$ 为奇数时 $M$ 的最小值为 $\dfrac{n^4+3n^2}{n^2-1}$
【解析】
设 $x_1,\cdots,x_k$ 为这 $n$ 个数中的正数,记所求表达式为 $M$,则$$\begin{split} M=&\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\dfrac1{x_i^2}\right)\\=&\left(\sum_{i=1}^kx_i^2+\sum_{i=k+1}^nx_i^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^k\dfrac1{x_i^2}+\sum_{i=k+1}^n\dfrac1{x_i^2}\right)\\
\geqslant& \left[\dfrac1k\left(\sum_{i=1}^kx_i\right)^2+\dfrac1{n-k}\left(\sum_{i=k+1}^nx_i^2\right)^2\right]\cdot\left[\dfrac1k\left(\sum_{i=1}^k\dfrac1{x_i}\right)^2+\dfrac1{n-k}\left(\sum_{i=k+1}^n\dfrac1{x_i}\right)^2\right]\\
=&\left(\dfrac1k+\dfrac1{n-k}\right)\cdot\left(\sum_{i=k+1}^nx_i^2\right)^2\cdot\left[\dfrac1k\left(\sum_{i=1}^k\dfrac1{x_i}\right)^2+\dfrac1{n-k}\left(\sum_{i=k+1}^n\dfrac1{x_i}\right)^2\right] .\end{split}$$而$$\left(\sum_{i=1}^kx_i\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^k\dfrac1{x_i}\right)\geqslant k^2,$$且$$\left | \sum_{i=1}^k x_i\right|\cdot \left|\sum_{i=k+1}^n\dfrac1{x_i}\right|=\left|\sum_{i=k+1}^n\dfrac1{x_i}\cdot\sum_{i=k+1}^n x_i\right|\geqslant(n-k)^2.$$故$$\sum_{i=1}^nx_i^2\sum_{i=1}\dfrac1{x_i^2}\geqslant \left(\dfrac1k+\dfrac1{n-k}\right)\cdot\left[k^3+(n-k)^3\right],$$故 $n$ 为偶数时 $M$ 的最小值为 $n^2$,$n$ 为奇数时 $M$ 的最小值为 $\dfrac{n^4+3n^2}{n^2-1}$.
答案 解析 备注
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