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若 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$，且 $\dfrac{\sin^4x}{9}+\dfrac{\cos^4x}{4}=\dfrac{1}{13}$，则 $\tan x$ 的值是 \((\qquad)\) ．
A: $\dfrac{1}{2}$
B: $\dfrac{2}{3}$
C: $1$
D: $\dfrac{3}{2}$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第一试）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    柯西不等式
【答案】
D
【解析】
由已知条件及柯西不等式，得 $1=(9+4)(\dfrac{\sin^4x}{9}+\dfrac{\cos^4x}{4})\geqslant(\sin^2x+\cos^2x)^2=1$，当且仅当 $\dfrac{\sin^2x}{9}=\dfrac{\cos^2x}{4}$，即 $\tan^2x=\dfrac{9}{4}$ 时，上式等号成立．因为 $0<x<\dfrac{\pi}{2}$，所以 $\tan x=\dfrac{3}{2}$．
题目 答案 解析 备注
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