设 $x,y\in\mathbf R$，且 $\log_4(x+2y)+\log_4(x-2y)=1$，则 $x-|y|$ 的最小值是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
由已知得 $\begin{cases}
x+2y>0\\
x-2y>0\\
x^2-4y^2=4\\
\end{cases}$ 即 $\begin{cases}x>2|y|\\
x^2-4y^2=4\\
\end{cases}$．令 $t=x-|y|(t>0)$，则 $|y|=x-t$，代入 $x^2-4y^2=4$，得 $3x^2-8tx+4(t^2+1)=0$．由 $\delta=64t^2-48(t^2+1)\geqslant 0$，得 $t\geqslant \sqrt{3}$．当 $t=\sqrt{3}$ 时，$x=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$．从而，$|y|=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．故 $t=x-|y|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．
x+2y>0\\
x-2y>0\\
x^2-4y^2=4\\
\end{cases}$ 即 $\begin{cases}x>2|y|\\
x^2-4y^2=4\\
\end{cases}$．令 $t=x-|y|(t>0)$，则 $|y|=x-t$，代入 $x^2-4y^2=4$，得 $3x^2-8tx+4(t^2+1)=0$．由 $\delta=64t^2-48(t^2+1)\geqslant 0$，得 $t\geqslant \sqrt{3}$．当 $t=\sqrt{3}$ 时，$x=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$．从而，$|y|=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．故 $t=x-|y|$ 的最小值为 $\sqrt{3}$．
题目
答案
解析
备注
