在边长为 $8$ 的正方形 $ABCD$ 中，$M$ 是 $BC$ 边的中点，$N$ 是 $DA$ 边上一点，且 $DN=3NA$．若对于常数 $m$，在正方形 $ABCD$ 的边上恰有 $6$ 个不同的点 $P$，使 $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=m$，则实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛陕西省预赛（第一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
以 $A$ 为原点，直线 $AB$ 为 $x$ 轴建立直角坐标系，则 $M(8,4),N(0,2)$．设 $P(x,y)$，则由 $\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PN}=m$，得 $-x(8-x)+(4-y)(2-y)=m$，即 $(x-4)^2+(y-3)^2=m+17$．① 所以 $P$ 为圆 ① 与正方形 $ABCD$ 的边的公共点．因此，圆 ① 与正方形 $ABCD$ 的边有 $6$ 个公共点的充要条件是 $4<\sqrt{m+17}<5$，解得 $-1<m<8$．
题目
答案
解析
备注
