求证：存在无穷多组正整数 $x,y,z$ 使得\[(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx).\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
容易发现 $(x,y,z)=(1,1,1)$ 是方程的一组解．
将其视为关于 $x$ 的方程，可得\[x^2-(3y+3z-2)x+\left(y^2+z^2+2y+2z-3yz\right)=0,\]因此根据韦达定理，若该方程有正整数解 $(x_1,y_1,z_1)$（$x_1\leqslant y_1\leqslant z_1$），则必然有正整数解 $(x_1',y_1,z_1)$，其中\[x_1+x_1'=3y_1+3z_1-2.\]将 $(x_1',y_1,z_1)$ 重新从小到大排列为 $(x_2,y_2,z_2)$，则由于\[x_1'=3y_1+3z_1-2-x_1>z_1,\]且\[x_1'=3y_1+3z_1-2-x_1>y_1,\]于是\[z_2=x_1'>z_1,\]然后继续上面的过程，得到新的解 $(x_3,y_3,z_3)$，且\[z_3>z_2>z_1,\]依次类推，可以从 $(1,1,1)$ 出发得到无数组正整数解，原命题得证．
将其视为关于 $x$ 的方程，可得\[x^2-(3y+3z-2)x+\left(y^2+z^2+2y+2z-3yz\right)=0,\]因此根据韦达定理，若该方程有正整数解 $(x_1,y_1,z_1)$（$x_1\leqslant y_1\leqslant z_1$），则必然有正整数解 $(x_1',y_1,z_1)$，其中\[x_1+x_1'=3y_1+3z_1-2.\]将 $(x_1',y_1,z_1)$ 重新从小到大排列为 $(x_2,y_2,z_2)$，则由于\[x_1'=3y_1+3z_1-2-x_1>z_1,\]且\[x_1'=3y_1+3z_1-2-x_1>y_1,\]于是\[z_2=x_1'>z_1,\]然后继续上面的过程，得到新的解 $(x_3,y_3,z_3)$，且\[z_3>z_2>z_1,\]依次类推，可以从 $(1,1,1)$ 出发得到无数组正整数解，原命题得证．
答案
解析
备注
