已知坐标平面 $xOy$ 内椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点 $P(x_0,y_0)$，$F_1,F_2$ 是椭圆的两个焦点，过 $F_1,F_2$ 作椭圆在 $P$ 点处切线的垂线，垂足分别为 $M,N$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：点 $M,N$ 在定圆上；标注答案略解析设 $F_2$ 关于切线的对称点为 $F_2'$，连接 $F_1F_2'$，则 $F_1F_2'=2a$，进而 $ON=a$．同理 $OM=a$，因此点 $M,N$ 在定圆 $x^2+y^2=a^2$ 上．
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求 $MF_1\cdot NF_2$ 的值．标注答案$b^2$解析设 $P(x_0,y_0)$，则切线方程为\[l:\dfrac{x_0x}{a^2}+dfrac{y_0y}{b^2}=1,\]于是根据点到直线的距离公式，可得\[\begin{split} MF_1\cdot MF_2&=\dfrac{\left|-\dfrac{x_0\cdot c}{a^2}-1\right|}{\sqrt{\dfrac{x_0^2}{a^4}+\dfrac{y_0^2}{b^4}}}\cdot \dfrac{\left|\dfrac{x_0\cdot c}{a^2}-1\right|}{\sqrt{\dfrac{x_0^2}{a^4}+\dfrac{y_0^2}{b^4}}}\\
&=\dfrac{1-\dfrac{c^2x_0^2}{a^4}}{\dfrac{x_0^2}{a^4}+\dfrac{y_0^2}{b^4}}\\
&=b^2.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
