已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$，是否存在实数 $a$，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x)\geqslant a$ 的解集为 $(0,+\infty)$？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
存在，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$
【解析】
不等式 $f(x)\geqslant a$ 即\[(x+1)\ln (x+1)-x\ln x\geqslant a(x+1),\]注意到$$\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0,$$于是当 $x\to 0^+$ 时，左边趋于 $0$，因此 $a\leqslant 0$．下面进行讨论．
情形一 $a\leqslant 0$．
此时\[LHS=x\cdot \ln\dfrac{x+1}{x}+\ln (x+1)>0\geqslant a(x+1),\]符合题意．
情形二 $a>0$．
我们去寻找 $x_0$，使 $(x_0+1)\ln (x_0+1)<\dfrac a2$ 和 $x_0\ln\dfrac 1{x_0}<\dfrac a2$ 同时成立，这样就有当 $x=x_0$ 时，有\[LHS=(x_0+1)\ln(x_0+1)+x_0\ln \dfrac{1}{x_0}<\dfrac a2+\dfrac a2=a<a(x_0+1),\]不符合题意．
先寻找 $(x+1)\ln(x+1)<\dfrac a2$ 的充分条件．
由于\[(x+1)\ln(x+1)<x(x+1)=x^2+x,\]于是当 $0<x<\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2}$ 时，就有\[(x+1)\ln(x+1)<x^2+x<\dfrac a2.\]再寻找 $x\ln\dfrac 1x<\dfrac a2$ 的充分条件，由于\[x\ln\dfrac 1x<x\cdot 2\left(\dfrac 1{\sqrt x}-1\right)=2\sqrt x-2x<2\sqrt x,\]于是当 $x<\dfrac{a^2}{16}$ 时，就有\[x\ln\dfrac 1x<2\sqrt x<\dfrac a2. \]综上，取\[x_0=\dfrac 12\min\left\{\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2},\dfrac{a^2}{16}\right\}\]即可，所以 $a>0$ 时不满足条件．
综合以上两种情形，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
此时\[LHS=x\cdot \ln\dfrac{x+1}{x}+\ln (x+1)>0\geqslant a(x+1),\]符合题意．
我们去寻找 $x_0$，使 $(x_0+1)\ln (x_0+1)<\dfrac a2$ 和 $x_0\ln\dfrac 1{x_0}<\dfrac a2$ 同时成立，这样就有当 $x=x_0$ 时，有\[LHS=(x_0+1)\ln(x_0+1)+x_0\ln \dfrac{1}{x_0}<\dfrac a2+\dfrac a2=a<a(x_0+1),\]不符合题意．
先寻找 $(x+1)\ln(x+1)<\dfrac a2$ 的充分条件．
由于\[(x+1)\ln(x+1)<x(x+1)=x^2+x,\]于是当 $0<x<\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2}$ 时，就有\[(x+1)\ln(x+1)<x^2+x<\dfrac a2.\]再寻找 $x\ln\dfrac 1x<\dfrac a2$ 的充分条件，由于\[x\ln\dfrac 1x<x\cdot 2\left(\dfrac 1{\sqrt x}-1\right)=2\sqrt x-2x<2\sqrt x,\]于是当 $x<\dfrac{a^2}{16}$ 时，就有\[x\ln\dfrac 1x<2\sqrt x<\dfrac a2. \]综上，取\[x_0=\dfrac 12\min\left\{\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2},\dfrac{a^2}{16}\right\}\]即可，所以 $a>0$ 时不满足条件．
综合以上两种情形，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,0]$．
答案
解析
备注
