题目 设函数 $f(x)=\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{b}{x-2}$，其中 $a,b\in\mathbb R$． 问题1 当 $a=4$，$b=1$ 时，判断函数 $f(x)$ 在 $(3,4)$ 上的单调性； 答案1 单调递减 解析1 当 $a=4$，$b=1$ 时，有\[f(x)=\dfrac{2}{(x-3)^2-1},\]于是函数 $f(x)$ 在 $(3,4)$ 上单调递减． 备注1 问题2 若对任意 $b\in (1,3)$，都有 $ f(x)$ 的图象同时有在坐标系四个象限的部分，求实数 $ a$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\infty,\dfrac 23\right]$ 解析2 由于函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 的两侧分别取到正负无穷大，因此函数 $f(x)$ 的图象一定过第一、四象限．考虑到\[f(x)=\dfrac{(1-b)x+ab-2}{(x-a)(x-2)},\]因此\[\begin{split} f(0)&=\dfrac{ab-2}{2a},\\ \lim_{x\to -\infty}f(x)&=0^+,\end{split}\]从而函数 $f(x)$ 的图象一定过第三象限．<br/><case>情形一</case> $a\leqslant 0$．此时\[\lim_{x\to a^-}f(x)=-\infty,\]符合题意．<br/><case>情形二</case> $a>0$．此时若 $f(0)<0$，即 $a\leqslant \dfrac 23$，则在区间 $\left(\dfrac{ab-2}{b-1},0\right)$ 上 $f(x)<0$，函数 $f(x)$ 的图象经过第四象限符合题意；否则当 $\dfrac 2b\leqslant a$ 时，在区间 $(-\infty,0)$ 上，$f(x)>0$，不符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 23\right]$． 备注2