已知 $f(x)=\ln x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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若正数 $\alpha,\beta$ 满足 $\alpha+\beta=1$，求证：$\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)\leqslant f(\alpha x_1+\beta x_2)$；标注答案略解析当 $x_1=x_2$ 时，命题显然成立；
当 $x_1\ne x_2$ 时，不妨设 $x_1<x_2$．有引理 若 $\xi\in [x_1,x_2]$，则\[\forall x\in [x_1,x_2],f(x)\leqslant f(\xi)+(x-\xi)f'(\xi).\]引理的证明 设函数\[g(x)=f(x)-f(\xi)-(x-\xi)f'(\xi),\]则\[g'(x)=f'(x)-f'(\xi)=\dfrac 1x-\dfrac{1}{\xi},\]于是当 $x\in [x_1,x_2]$ 时，函数 $g(x)$ 在 $x=\xi$ 处取得极大值，亦为最大值 $0$，从而命题得证．
应用引理，令 $\xi =\alpha x_1+\beta x_2$，则\[\begin{split} f(x_1)\leqslant f(\xi)+(x_1-\xi)f'(\xi),\\
f(x_2)\leqslant f(\xi)+(x_2-\xi)f'(\xi),\end{split}\]从而\[\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)\leqslant (\alpha+\beta)f(\xi)+[\alpha x_1+\beta x_2-\xi(\alpha+\beta)]f'(\xi),\]也即\[\alpha f(x_1)+\beta f(x_2)\leqslant f(\alpha x_1+\beta x_2).\] -
已知 $x_i>0$，正数 $\alpha_i>0$（$i=1,2,3,\cdots,n$），满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i=1$，求证：\[\sum_{i=1}^n(\alpha_i\ln x_i)\leqslant \sum_{i=1}^n(\ln \alpha_ix_i).\]标注答案略解析与第 $(1)$ 小题类似，令\[\xi=\sum_{i=1}^n(\alpha_i x_i),\]分别取 $x=x_i$（$i=1,2,\cdots,n$），累加即得．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
