函数 $y=\cos^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ 在区间 $[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}]$ 上的值域是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
$y=\cos^2x+\sqrt{3}\sin x\cos x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\sin (2x+\dfrac{\pi}{6})+\dfrac{1}{2}$．因为 $-\dfrac{\pi}{6}<x<\dfrac{\pi}{4}$，所以 $-\dfrac{\pi}{6}\leqslant 2x+\dfrac{\pi }{6}\leqslant \dfrac{2\pi }{3},-\dfrac{1}{2}\leqslant \sin \left(2x+\dfrac{\pi }{6} \right)\leqslant 1$，所以 $0\leqslant y\leqslant \dfrac{3}{2}$，即函数 $y=\cos^2x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ 在区间 $[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4}]$ 上的值域是 $[0,\dfrac{3}{2}]$，故选 $C$．
题目
答案
解析
备注
