已知 $a\in\mathbb R$，解关于 $x$ 的不等式 $\sqrt{2ax-a^2}>1-x$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\begin{cases} 0\leqslant a\leqslant 2,\\ x>1-\sqrt{2a}+a,\end{cases}\lor \begin{cases} a>2,\\ x\geqslant \dfrac a2.\end{cases}$
【解析】
题中不等式即\[\begin{cases} 2ax-a^2\geqslant 0,\\ 1-x<0,\end{cases} \lor \left(2ax-a^2>(1-x)^2\right),\]即\[\begin{cases} a>0,\\
x>\dfrac a2,\\ x>1,\end{cases} \lor \begin{cases} a=0,\\ x>1,\end{cases} \lor \begin{cases} a<0,\\ x<\dfrac a2,\\ x>1,\end{cases} \lor x^2-(2+2a)x+1+a^2<0,\]解得\[\begin{cases} 0\leqslant a\leqslant 2,\\ x>1-\sqrt{2a}+a,\end{cases}\lor \begin{cases} a>2,\\ x\geqslant \dfrac a2.\end{cases}\]
x>\dfrac a2,\\ x>1,\end{cases} \lor \begin{cases} a=0,\\ x>1,\end{cases} \lor \begin{cases} a<0,\\ x<\dfrac a2,\\ x>1,\end{cases} \lor x^2-(2+2a)x+1+a^2<0,\]解得\[\begin{cases} 0\leqslant a\leqslant 2,\\ x>1-\sqrt{2a}+a,\end{cases}\lor \begin{cases} a>2,\\ x\geqslant \dfrac a2.\end{cases}\]
答案
解析
备注
