解下列不等式：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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$4^x+4^{-x}+5>2^{x+2}+2^{2-x} $；标注答案$\left(-\infty,\log_2{\dfrac{3-\sqrt 5}{2}}\right)\cup \left(\log_2{\dfrac{3+\sqrt 5}{2}},+\infty\right)$解析原不等式等价于$$(2^x+2^{-x})^2-4(2^x+2^{-x})+3>0,$$即$$(2^x+2^{-x}-1)(2^x+2^{-x}-3)>0,$$即\[2^x<\dfrac{3-\sqrt 5}2\lor 2^x>\dfrac{3+\sqrt 5}2,\]即\[x<{\log_2}\dfrac{3-\sqrt 5}2\lor x>{\log_2}\dfrac{3+\sqrt 5}2.\]
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$x^{3+3\log_2 x -(\log_2 x)^2}-\dfrac 18 x^2 >0$；标注答案$\left(0,\dfrac 18\right)\cup \left(\dfrac 12 ,2 \right)$解析显然 $x>0$，两边同除以 $x^2$，变形得$$x^{1+3\log_2 x -(\log_2 x)^2}>\dfrac 18,$$两边取以 $2$ 为底的对数，得$$\log_2 x\cdot [1+3\log_2 x -(\log_2 x)^2]>-3,$$解得\[\log_2 x <-3\lor -1<\log_2 x <1,\]即\[0<x<\dfrac 18\lor \dfrac 12 <x<2.\]因此原不等式的解集为 $\left(0,\dfrac 18\right)\cup \left(\dfrac 12 ,2 \right)$．
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${\log_2}(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^6+1)<1+\log_2(x^4+1)$．标注答案$\left(-\sqrt{\dfrac{\sqrt 5-1}{2}},\sqrt{\dfrac{\sqrt 5 -1}{2}}\right)$解析原不等式等价于$$x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^6+1<2x^4+2,$$令 $t=x^2$，则$$t^6+3t^5+5t^4+3t^3<2t^2+1\Leftrightarrow (t+1)^3+2(t+1)<\dfrac{1}{t^3}+\dfrac 2t,$$因为 $f(x)=x^3+2x$ 为单调递增函数，所以原不等式等价于\[t+1<\dfrac 1t,\]从而解得$$-\sqrt{\dfrac{\sqrt 5-1}{2}}<x<\sqrt{\dfrac{\sqrt 5 -1}{2}}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
