已知 $m$、$n$ 是异面垂直且距离为 $d$ 的两条直线，长度为 $l$ 的线段 $PQ$ 的端点 $P$、$Q$ 分别在直线 $m$、$n$ 上滑动，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
所求轨迹是以 $m,n$ 的公垂线段中点 $O$ 为圆心，$\dfrac 12\sqrt{l^2-d^2}$ 为半径的图，且该圆所在平面与公垂线段垂直
【解析】
如图，设 $m$、$n$ 的公垂线段为 $AB$，过线段 $AB$ 的中点 $O$ 作 $AB$ 的法平面 $\alpha$，分别作 $P$、$Q$ 在 $\alpha$ 上的投影 $P'$、$Q'$，连接 $OP'$、$OQ'$、$OM$、$P'Q'$．
由于 $PP'$ 与 $QQ'$ 平行且相等，于是 $M$ 同时平分 $PQ$ 与 $P'Q'$，此时线段 $P'Q'$ 仍为定值 $\sqrt{l^2-d^2}$．
此时问题已经转化为平面上的对应问题，不难得到所求轨迹是以 $m$、$n$ 的公垂线段中点 $O$ 为圆心，$\dfrac 12\sqrt{l^2-d^2}$ 为半径的圆，且该圆所在的平面与公垂线段垂直．
由于 $PP'$ 与 $QQ'$ 平行且相等，于是 $M$ 同时平分 $PQ$ 与 $P'Q'$，此时线段 $P'Q'$ 仍为定值 $\sqrt{l^2-d^2}$．此时问题已经转化为平面上的对应问题，不难得到所求轨迹是以 $m$、$n$ 的公垂线段中点 $O$ 为圆心，$\dfrac 12\sqrt{l^2-d^2}$ 为半径的圆，且该圆所在的平面与公垂线段垂直．
答案
解析
备注
