已知函数 $f\left(x\right) = {x^2} + bx + c\left(b,c \in {\mathbb{R}}\right) $，对任意的 $x \in {\mathbb{R}}$，恒有 $f'\left(x\right) \leqslant f\left(x\right)$．
【难度】
【出处】
2010年高考湖南卷（理）
【标注】
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证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$f\left(x\right) \leqslant {\left(x + c\right)^2}$；标注答案略解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x+b,\]根据题意，有\[\forall x\in \mathbb R,x^2+(b-2)x+c-b\geqslant 0,\]于是\[(b-2)^2-4(c-b)\leqslant 0,\]即\[b^2\leqslant 4(c-1),\]又\[(x+c)^2-f(x)=(2c-b)x+c^2-c,\]于是只需要证明\[\begin{cases} 2c-b\geqslant 0,\\ c^2-c\geqslant 0.\end{cases}\]事实上，有\[4(c-1)\geqslant b^2\geqslant 0,\]于是\[c\geqslant 1,\]进而\[2c-b\geqslant 2c-|b|=\sqrt{4c^2}-\sqrt{4c-4}>0,\]因此原命题得证．
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若对满足题设条件的任意 $ b,c $，不等式 $f\left(c\right) - f\left(b\right) \leqslant M\left({c^2} - {b^2}\right)$ 恒成立，求 $ M $ 的最小值．标注答案$\dfrac 32$解析由于\[c\geqslant \dfrac 14b^2+1\geqslant |b|,\]于是题中不等式即\[\begin{split} M&\geqslant \dfrac{(c^2+bc+c)-(b^2+b+c)}{c^2-b^2}\\
&=1+\dfrac b{c+b}\\
&\leqslant 1+\dfrac{b}{\dfrac 14b^2+1+b}\\
&=1+\dfrac{1}{\dfrac b4+\dfrac 1b+1}\\
&\leqslant \dfrac 32,\end{split}\]等号当 $c=\dfrac 14b^2+1$，$b=2$ 时取得．因此所求 $M$ 的最小值为 $\dfrac 32.$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
