过点 $M(2,1)$ 的直线交椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1$ 于 $A$、$B$ 两点，使 $M$ 是弦 $AB$ 的一个三等分点，求此直线的斜率．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{-4\pm \sqrt 7}6$
【解析】
容易验证当 $AB$ 的斜率不存在时，不符合题意．当 $AB$ 的斜率为 $k$ 时，设直线 $AB$ 的方程为$$\begin{cases}x=2+t,\\y=1+kt,\end{cases}$$其中 $t$ 为参数．
与椭圆方程联立得$$\dfrac{(2+t)^2}{16}+\dfrac{(1+kt)^2}4=1,$$即$$(4k^2+1)t^2+(8k+4)t-8=0,\cdots (1)$$设此方程的两根为 $t_1,t_2$，分别对应点 $A,B$，有$$\dfrac{t_1}{t_2}=-2,$$因为 $t_1,t_2$ 为方程 $(1)$ 的两根，由两根比的公式有$$(8k+4)^2=\left(-2-\dfrac 12+2\right )(4k^2+1)\cdot (-8),\cdots (2)$$化简得 $12k^2+16k+3=0$，解得$$k=\dfrac{-4\pm \sqrt 7}6.$$
与椭圆方程联立得$$\dfrac{(2+t)^2}{16}+\dfrac{(1+kt)^2}4=1,$$即$$(4k^2+1)t^2+(8k+4)t-8=0,\cdots (1)$$设此方程的两根为 $t_1,t_2$，分别对应点 $A,B$，有$$\dfrac{t_1}{t_2}=-2,$$因为 $t_1,t_2$ 为方程 $(1)$ 的两根，由两根比的公式有$$(8k+4)^2=\left(-2-\dfrac 12+2\right )(4k^2+1)\cdot (-8),\cdots (2)$$化简得 $12k^2+16k+3=0$，解得$$k=\dfrac{-4\pm \sqrt 7}6.$$
答案
解析
备注
