已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴长为 $4$，过左焦点 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+y^2=1$解析通径长为 $1$，于是由 $2a=4$，$\dfrac{2b^2}{a}=1$，解得 $a=2$，$b=1$，于是所求椭圆方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．
-
设点 $A$ 为椭圆的右顶点，过 $B(1,0)$ 作不与 $x$ 轴垂直的直线与椭圆 $C$ 相交于 $E,F$ 两点，若直线 $AE,AF$ 分别与直线 $x=3$ 交于不同的两点 $M,N$．求 $\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}$ 的取值范围．
标注答案$\left(1,\dfrac54\right)$解析设 $E(x_1,y_1)$，$F(x_2,y_2)$，$M(3,m)$，$N(3,n)$，直线 $EF:y=k(x-1)$，其中 $k\neq 0$．由 $E,A,M$ 和 $F,A,N$ 分别共线，可以解得 $m=\dfrac{y_1}{x_1-2}$，$n=\dfrac{y_2}{x_2-2}$，于是\[\begin{split}\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}&=\left(3-x_1\right)\left(3-x_2\right)+\left(m-y_1\right)\left(n-y_2\right)\\&=\left(3-x_1\right)\left(3-x_2\right)+y_1y_2\cdot\frac{\left(3-x_1\right)\left(3-x_2\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}\\&=\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)\cdot\left[1+k^2\cdot\frac{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}\right]\end{split}\]联立直线 $EF$ 与椭圆方程，有$$x^2+4k^2(x-1)^2-4=0.$$分别令 $u=x-1$，$v=x-2$，$w=x-3$，得$$\begin{cases} \left(4k^2+1\right)u^2+2u-3=0,\\ \left(4k^2+1\right)v^2+\left(8k^2+4\right)v+4k^2=0,\\ \left(4k^2+1\right)w^2+\left(16k^2+6\right)w+16k^2+5=0,\end{cases}$$从而$$\begin{cases} \left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=-\dfrac{3}{4k^2+1},\\ \left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)=\dfrac{4k^2}{4k^2+1},\\ \left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)=\dfrac{16k^2+5}{4k^2+1}.\end{cases}$$代入可得 $\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}=1+\dfrac{1}{16k^2+4}$，于是 $\overrightarrow{EM}\cdot\overrightarrow{FN}$ 的取值范围为 $\left(1,\dfrac54\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
