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在直角坐标系中，椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，其中 $F_2$ 也是抛物线 $C_2:y^2=4x$ 的焦点，点 $P$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 在第一象限的交点，且 $\left|PF_2\right|=\dfrac 53$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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    解析几何
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    椭圆
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    椭圆的方程
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    椭圆的标准方程
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    解析几何
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    椭圆
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    椭圆的性质
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    椭圆的垂径定理
  • 题型
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    解析几何
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    圆锥曲线中的参数取值及范围问题
  1. 求椭圆的方程；
    标注
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      椭圆的标准方程
    答案
    $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$
    解析
    设 $P(x_0,y_0)$，由题意得$$\begin{cases}\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}=1,\\
    y_0^2=4x_0,\\
    (x_0-c)^2+y_0^2=\left(\dfrac 53\right)^2,
    \\c=1,\end{cases}$$又有 $a^2=b^2+c^2$，解得 $a=2$，$b=\sqrt 3$．
  2. 过 $F_2$ 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 $M,N$ 两点，线段 $OF_2$ 上存在点 $T(t,0)$ 使得以 $TM,TN$ 为邻边的四边形是菱形，求 $t$ 的取值范围．
    标注
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      圆锥曲线中的参数取值及范围问题
    答案
    $\left(0,\dfrac 14\right)$
    解析
    根据题意，$T$ 点横坐标 $t$ 为线段 $MN$ 的垂直平分线的横截距，设直线 $MN$ 的中点为 $P(m,n)$，则\[\begin{cases}\dfrac nm\cdot \dfrac{n}{m-1}=-\dfrac 34,\\
    \dfrac{n}{m-t}\cdot \dfrac{n}{m-1}=-1,
    \end{cases}\]解得 $m=4t$，$n^2=-12t^2+3t$，于是\[\begin{cases}n^2=-12t^2+3t>0,\\ \dfrac{m^2}4+\dfrac{n^2}3<1,\\ 0\leqslant t\leqslant 1,\end{cases}\]解得 $t$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 14\right)$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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