已知 $a^2+b^2+c^2=54$，$a+b+c=12$，求 $a,b,c$ 三个数中的最大数的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
首先考虑 $a,b,c$ 均为非负数的情形．
视 $c$ 为已知数，则条件变为关于 $a,b$ 的二元二次方程组，下面研究该方程组有解的条件．
由$$2\left(a^2+b^2\right)\geqslant (a+b)^2$$得$$2\left(54-c^2\right)\geqslant \left(12-c\right)^2,$$解得$$2\leqslant c\leqslant 6.$$当 $c=2$ 时，$a=b=5$ 满足要求，此时 $a,b,c$ 三个数中最大数为 $5$．下面证明三个数中的最大数不可能小于 $5$：
不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则 $a\geqslant 4$，下面用反证法证明 $a\geqslant 5$：
否则 $a<5$，$b,c$ 满足$$\begin{cases} b^2+c^2=54-a^2,\\b+c=12-a,\end{cases}$$从而得到$$\begin{cases}b+c=12-a,\\
bc=a^2-12a+45,\end{cases}$$即 $b,c$ 为一元二次方程$$x^2-(12-a)x+(a^2-12a+45)=0$$的两根，其中 $a$ 为参数，且 $a\in [2,5)$．记左边对应的函数为 $f(x)$，则有$$f(5)=(a-2)(a-5)<0,$$所以这个一元二次方程的大根 $b$ 大于 $5$，与 $a$ 是 $a,b,c$ 中最大的数，且 $a<5$ 矛盾．
当 $a,b,c$ 中存在负数时，由 $a+b+c=12$ 可知最大数一定不小于 $6$．
综上，$a,b,c$ 三个数中的最大数的最小值为 $5$．
视 $c$ 为已知数，则条件变为关于 $a,b$ 的二元二次方程组，下面研究该方程组有解的条件．
由$$2\left(a^2+b^2\right)\geqslant (a+b)^2$$得$$2\left(54-c^2\right)\geqslant \left(12-c\right)^2,$$解得$$2\leqslant c\leqslant 6.$$当 $c=2$ 时，$a=b=5$ 满足要求，此时 $a,b,c$ 三个数中最大数为 $5$．下面证明三个数中的最大数不可能小于 $5$：
不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则 $a\geqslant 4$，下面用反证法证明 $a\geqslant 5$：
否则 $a<5$，$b,c$ 满足$$\begin{cases} b^2+c^2=54-a^2,\\b+c=12-a,\end{cases}$$从而得到$$\begin{cases}b+c=12-a,\\
bc=a^2-12a+45,\end{cases}$$即 $b,c$ 为一元二次方程$$x^2-(12-a)x+(a^2-12a+45)=0$$的两根，其中 $a$ 为参数，且 $a\in [2,5)$．记左边对应的函数为 $f(x)$，则有$$f(5)=(a-2)(a-5)<0,$$所以这个一元二次方程的大根 $b$ 大于 $5$，与 $a$ 是 $a,b,c$ 中最大的数，且 $a<5$ 矛盾．
当 $a,b,c$ 中存在负数时，由 $a+b+c=12$ 可知最大数一定不小于 $6$．
综上，$a,b,c$ 三个数中的最大数的最小值为 $5$．
答案
解析
备注
