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一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥的外接球的表面积为 \((\qquad)\) ．
A: $\dfrac{9\pi}{4}$
B: $9\pi$
C: $4\pi$
D: $\pi$
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何体
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    空间几何体的形体分析
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    空间几何体的三视图
  • 知识点
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    立体几何
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    空间几何体
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    空间几何体的形体分析
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    空间几何体的表面积
【答案】
A
【解析】
由题意，三棱锥的一个侧面垂直于底面，底面是等腰直角三角形，顶点在底面上的射影是底面斜边的中点．设三棱锥的外接球的半径为 $r$，那么 $r^2=(1-r)^2+(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2$，解得 $r=\dfrac{3}{4}$，所以三棱锥的外接球的表面积为 $4\pi\times\dfrac{9}{16}=\dfrac{9\pi}{4}$，故选 $A$．
题目 答案 解析 备注
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