题目 设 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 上的两点，现定义由点 $A$ 到点 $B$ 的折线距离 $d(A,B)=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$．对于平面 $xOy$ 上给定的不同两点 $A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$． 问题1 若点 $C(x,y)$ 是平面 $xOy$ 上的点，试证明 $d(A,C)+d(C,B)\geqslant d(A,B)$． 答案1 略 解析1 由题意知\[\begin{split}LHS&=|x_{1}-x_{3}|+|y_{1}-y_{3}|+|x_{3}-x_{2}|+|y_{3}-y_{2}|\\&\geqslant \left|(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})\right|+\left|(y_{1}-y_{3})+(y_{3}-y_{2})\right|\\ &\geqslant |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|=RHS.\end{split}\]所以命题得证． 备注1 问题2 在平面 $xOy$ 上是否存在点 $C(x,y)$ 同时满足：<br/>① $d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)$；<br/>② $d(A,C)=d(C,B)$．<br/>若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 答案2 （i）$x_{1}=x_{2}$ 时，$C$ 为线段 $AB$ 的中点 $\left(x_{1},\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$；<br/>（ii）$x_{1}>x_{2}$ 时，<br/>① $y_{1}=y_{2}$ 时，$C$ 为线段 $AB$ 的中点 $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},y_{1}\right)$；<br/>② $y_{1}<y_{2}$ 时，$C$ 为过 $AB$ 中点，斜率为 $-1$ 的直线在以 $AB$ 为对角线的矩形内部的线段上的点；<br/>③ $y_{1}>y_{2}$ 时，$C$ 为过 $AB$ 中点，斜率为 $1$ 的直线在以 $AB$ 为对角线的矩形内部的线段上的点 解析2 上述不等式中等号取得的条件是 $\begin{cases}(x_{1}-x_{3})(x_{3}-x_{2})\geqslant 0\\ (y_{1}-y_{2})(y_{3}-y_{2})\geqslant 0\end{cases}$，也就是说\[\begin{cases}\min(x_{1},x_{2})\leqslant x_{3}\leqslant \max(x_{1},x_{2})\\ \min(y_{1},y_{2})\leqslant y_{3}\leqslant \max(y_{1},y_{2})\end{cases}.\]不妨设 $x_{1}\leqslant x_{2}$，则<br/>（i）$x_{1}=x_{2}$ 时，$C$ 为线段 $AB$ 的中点 $\left(x_{1},\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$；<br/>（ii）$x_{1}>x_{2}$ 时，<br/>① $y_{1}=y_{2}$ 时，$C$ 为线段 $AB$ 的中点 $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2},y_{1}\right)$；<br/>② $y_{1}<y_{2}$ 时，$C$ 为过 $AB$ 中点，斜率为 $-1$ 的直线在以 $AB$ 为对角线的矩形内部的线段上的点；<br/>③ $y_{1}>y_{2}$ 时，$C$ 为过 $AB$ 中点，斜率为 $1$ 的直线在以 $AB$ 为对角线的矩形内部的线段上的点．<img src="/static/images/31edddc817f8914365721ec3b329e490.png" class="img-responsive" />  备注2 其本质是考虑折线段、折线垂直平分线．以下是折线椭圆、折线双曲线和折线抛物线．<img src="/static/images/30194a9c480727315c0f76400517008d.png" class="img-responsive" /> 每日一题[695]折线距离下的“轨迹”．