已知 ${a_1}={\rm{e}}$，${a_{n+1}}={a_n}-\ln {a_n}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$1<{a_{n+1}}<{a_n} \leqslant {\rm{e}}$；标注答案略解析记函数 $f(x)=x-\ln x$，则 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是容易归纳证明\[1<a_n\leqslant {\rm e},\]进而\[a_{n+1}-a_n=-\ln a_n<0,\]因此原命题得证．
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求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{a_k-a_{k+1}}{a_k\sqrt{a_k}}<1$．标注答案略解析根据题意，有\[S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{x_k-x_{k+1}}{x_k\sqrt{x_k}}=\sum_{k=1}^n\dfrac{\ln x_k}{x_k^{\frac 32}}<{\rm e}^{-\frac 32}+\dfrac{\ln({\rm e}-1)}{({\rm e}-1)^{\frac 32}}+\sum_{k=3}^n\left(x_k-1\right).\]另一方面，有\[x_{n+1}-1=x_n-1-\ln x_n,\]于是\[\dfrac{x_{n+1}-1}{x_n-1}=1-\dfrac{\ln x_n}{x_n-1},\]容易证明当 $n\geqslant 2$ 时，有 $1<x_n\leqslant {\rm e}-1$，于是\[\dfrac{x_{n+1}-1}{x_n-1}\leqslant 1-\dfrac{\ln({\rm e}-1)}{{\rm e}-2}<\dfrac 14,\]于是当 $n\geqslant 3$ 时，有\[x_n\leqslant 1+\dfrac 1{
4^{n-3}}\cdot \left({\rm e}-2-\ln({\rm e}-1)\right),\]于是\[\begin{split} S_n&<{\rm e}^{-\frac 32}+\dfrac{\ln({\rm e}-1)}{({\rm e}-1)^{\frac 32}}+\dfrac{{\rm e}-2-\ln({\rm e}-1)}{1-\dfrac 14}\\
&={\rm e}^{-\frac 32}+\dfrac{\ln({\rm e}-1)}{({\rm e}-1)^{\frac 32}}+\dfrac 43\left({\rm e}-2-\ln({\rm e}-1)\right)\\
&<1.\end{split}\]事实上，这种方法得到的上界约为 $0.6995$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
