题目 已知 ${a_1}={\rm{e}}$，${a_{n+1}}={a_n}-\ln {a_n}$． 问题1 求证：$1<{a_{n+1}}<{a_n} \leqslant {\rm{e}}$； 答案1 略 解析1 记函数 $f(x)=x-\ln x$，则 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，于是容易归纳证明\[1<a_n\leqslant {\rm e},\]进而\[a_{n+1}-a_n=-\ln a_n<0,\]因此原命题得证． 备注1 问题2 求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{a_k-a_{k+1}}{a_k\sqrt{a_k}}<1$． 答案2 略 解析2 注意到\[\sum_{k=1}^n\ln\dfrac{a_k}{a_{k+1}}<1,\]于是考虑证明\[\dfrac{a_k-a_{k+1}}{a_k\sqrt{a_k}}<\ln \dfrac{a_k}{a_{k+1}},\]也即\[\dfrac{\ln a_k}{a_k\sqrt{a_k}}<\ln \dfrac{a_k}{a_{k+1}},\] 备注2