在空间坐标系 $O - xyz$ 中，$\Omega$ 是 $xOy$ 平面上的图形 $0 \leqslant y \leqslant 2 - {x^2}$ 绕 $y$ 轴旋转一周得到的一个不透光的立体．现在在点 $(1,0,1)$ 处设置一个点光源 $p$，在 $xOz$ 平面内有一个以原点为圆心的圆 $C$，若圆 $C$ 上被光源 $p$ 照到的部分的长度为 $\pi$，求圆 $C$ 上未被光源照到的部分的长度．
【难度】
【出处】
2008年北京大学自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$3\pi$
【解析】
根据题意，抛物线方程为\[F:x^2+y+z^2-2=0,\]于是\[\begin{split}
\dfrac{\partial F}{\partial x}&=2x,\\
\dfrac{\partial F}{\partial y}&=1,\\
\dfrac{\partial F}{\partial z}&=2z,\end{split}\]于是过点 $(1,0,1)$ 的切面为\[G:2x+y+2z-4=0,\]与 $xOz$ 平面的交线为\[l:x+z-2=0.\]设直线 $l$ 截圆 $C$ 所得的弦为 $AB$，弦 $AB$ 所对的圆心角为 $2\theta$，则\[\dfrac{\pi}{2\theta}\cdot \cos\theta=\sqrt 2,\]解得\[\theta=\dfrac{\pi}4.\]于是圆 $C$ 上未被广元照到的部分的长度为 $3\pi$．
\dfrac{\partial F}{\partial x}&=2x,\\
\dfrac{\partial F}{\partial y}&=1,\\
\dfrac{\partial F}{\partial z}&=2z,\end{split}\]于是过点 $(1,0,1)$ 的切面为\[G:2x+y+2z-4=0,\]与 $xOz$ 平面的交线为\[l:x+z-2=0.\]设直线 $l$ 截圆 $C$ 所得的弦为 $AB$，弦 $AB$ 所对的圆心角为 $2\theta$，则\[\dfrac{\pi}{2\theta}\cdot \cos\theta=\sqrt 2,\]解得\[\theta=\dfrac{\pi}4.\]于是圆 $C$ 上未被广元照到的部分的长度为 $3\pi$．
答案
解析
备注
