已知 ${{a}_{n}}=\dfrac{1}{6}\left( {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2n-3}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2n-3}}+2 \right)$，求证：$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 各项均为平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设存在 ${{b}_{n}}=\lambda{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{n-1}}+\mu {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{n-1}}$，且 $b_{n}^{2}={{a}_{n}}$，
$b_{n}^{2}={{\lambda }^{2}}{{\left( 2+\sqrt{3}\right)}^{2n-2}}+{{\mu }^{2}}{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2n-2}}+2\lambda \mu $，
强行待定 ${{\lambda}^{2}}=\dfrac{1}{6\left( 2+\sqrt{3} \right)}$，${{\mu }^{2}}=\dfrac{1}{6\left(2-\sqrt{3} \right)}$，$\lambda \mu =\dfrac{1}{6}$，
可以取 $\lambda=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$，$\mu =\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$
${{b}_{n}}$ 递推式 ${{b}_{n+2}}=4{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}$，${{b}_{1}}=1$，${{b}_{2}}=1$．
$b_{n}^{2}={{\lambda }^{2}}{{\left( 2+\sqrt{3}\right)}^{2n-2}}+{{\mu }^{2}}{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2n-2}}+2\lambda \mu $，
强行待定 ${{\lambda}^{2}}=\dfrac{1}{6\left( 2+\sqrt{3} \right)}$，${{\mu }^{2}}=\dfrac{1}{6\left(2-\sqrt{3} \right)}$，$\lambda \mu =\dfrac{1}{6}$，
可以取 $\lambda=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$，$\mu =\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$
${{b}_{n}}$ 递推式 ${{b}_{n+2}}=4{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}$，${{b}_{1}}=1$，${{b}_{2}}=1$．
答案
解析
备注
