已知 ${{a}_{n}}=\dfrac{1}{6}\left( {{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2n-3}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2n-3}}+2 \right)$，求证：$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 各项均为平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
容易得到数列是某三阶数列 ${{a}_{n+3}}=p{{a}_{n+2}}-q{{a}_{n+1}}+r{{a}_{n}}$，
其对应的特征方程为 ${{x}^{3}}=p{{x}^{2}}-qx+r$，三个根为 ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}$，${{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}$ 和 $1$．
则 $p={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=15$
$q={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=15$
$r=1$
故 ${{a}_{n+3}}=15{{a}_{n+2}}-15{{a}_{n+1}}+{{a}_{n}}$，且 ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=1$，${{a}_{3}}=9$，经过计算可知 ${{a}_{4}}={{11}^{2}}$，${{a}_{5}}={{41}^{2}}$，
考查数列 ${{b}_{n}}:1,1,3,11,41$，猜测 ${{b}_{n+2}}=4{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}$，其特征方程为 ${{x}^{2}}-4x+1=0$，
设 ${{b}_{n}}=\lambda{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{n-1}}+\mu {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{n-1}}$，$\lambda =\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$，$\mu =\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$
则 $b_{n}^{2}={{a}_{n}}$．
其对应的特征方程为 ${{x}^{3}}=p{{x}^{2}}-qx+r$，三个根为 ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}$，${{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}$ 和 $1$．
则 $p={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=15$
$q={{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=15$
$r=1$
故 ${{a}_{n+3}}=15{{a}_{n+2}}-15{{a}_{n+1}}+{{a}_{n}}$，且 ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=1$，${{a}_{3}}=9$，经过计算可知 ${{a}_{4}}={{11}^{2}}$，${{a}_{5}}={{41}^{2}}$，
考查数列 ${{b}_{n}}:1,1,3,11,41$，猜测 ${{b}_{n+2}}=4{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}$，其特征方程为 ${{x}^{2}}-4x+1=0$，
设 ${{b}_{n}}=\lambda{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{n-1}}+\mu {{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{n-1}}$，$\lambda =\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}$，$\mu =\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}$
则 $b_{n}^{2}={{a}_{n}}$．
答案
解析
备注
