已知 ${{a}_{1}}=2\sqrt{3}$，${{b}_{1}}=3$，${{a}_{n+1}}=\dfrac{2{{a}_{n}}{{b}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}$，${{b}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}{{b}_{n}}}$，$n\in {{\mathbf{N}}^{*}}$，证明：$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }} {{a}_{n}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }} {{b}_{n}}=\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
容易得到，若 ${{a}_{n}}>{{b}_{n}}>0$，根据 ${{a}_{n+1}}=\dfrac{2{{a}_{n}}{{b}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}$，可得 ${{a}_{n}}>{{a}_{n+1}}>{{b}_{n}}$，进而由 ${{b}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}{{b}_{n}}}$，可得 ${{a}_{n+1}}>{{b}_{n+1}}>{{b}_{n}}$，即 ${{a}_{n}}>{{a}_{n+1}}>{{b}_{n+1}}>{{b}_{n}}$，由 ${{a}_{1}}>{{b}_{1}}$，
可得 $2\sqrt{3}={{a}_{1}}>{{a}_{2}}>\cdots>{{a}_{n}}>\cdots >{{b}_{n}}>\cdots >{{b}_{2}}>{{b}_{1}}=3$，即两个数列均有界单调存在极限，
设 $\underset{n\to +\infty}{\mathop{\lim }} {{b}_{n}}=b$，由 ${{b}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}{{b}_{n}}}$ 可得 $\underset{n\to +\infty}{\mathop{\lim }} {{a}_{n}}=b$．
经过计算可得 ${{a}_{2}}=12\left( 2-\sqrt{3}\right)$，${{b}_{2}}=3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1 \right)$，$\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
由 ${{b}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}{{b}_{n}}}$，可得 ${{a}_{n+1}}=\dfrac{b_{n+1}^{2}}{{{b}_{n}}}$，代入 ${{a}_{n+1}}=\dfrac{2{{a}_{n}}{{b}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}$
可得 ${{\left( \dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}}\right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{{{b}_{n-1}}}{{{b}_{2}}} \right)$，令 $\dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}}={{c}_{n}}$，
即 $2c_{n}^{2}-1={{c}_{n-1}}$，亦即 ${{c}_{n}}=\sqrt{\dfrac{1+{{c}_{n-1}}}{2}}$，由 ${{c}_{1}}=\cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{12}$，
可得 ${{c}_{n}}=\cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n+1}}}$，
故 $\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{n}}}={{c}_{1}}{{c}_{2}}\cdots{{c}_{n-1}}=\cos \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{2}}}\cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{3}}}\cdots \cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}=\dfrac{\sin \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}}{{{2}^{n-1}}\sin \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{3\cdot {{2}^{n}}}}=\dfrac{1}{{{2}^{n}}\sin \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}}$
${{b}_{n}}=3\cdot {{2}^{n}}\sin \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}=\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \dfrac{\sin\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}}{\dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}}$，
因此 $b=\underset{n\to +\infty}{\mathop{\lim }} {{b}_{n}}=\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．
可得 $2\sqrt{3}={{a}_{1}}>{{a}_{2}}>\cdots>{{a}_{n}}>\cdots >{{b}_{n}}>\cdots >{{b}_{2}}>{{b}_{1}}=3$，即两个数列均有界单调存在极限，
设 $\underset{n\to +\infty}{\mathop{\lim }} {{b}_{n}}=b$，由 ${{b}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}{{b}_{n}}}$ 可得 $\underset{n\to +\infty}{\mathop{\lim }} {{a}_{n}}=b$．
经过计算可得 ${{a}_{2}}=12\left( 2-\sqrt{3}\right)$，${{b}_{2}}=3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1 \right)$，$\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
由 ${{b}_{n+1}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}{{b}_{n}}}$，可得 ${{a}_{n+1}}=\dfrac{b_{n+1}^{2}}{{{b}_{n}}}$，代入 ${{a}_{n+1}}=\dfrac{2{{a}_{n}}{{b}_{n}}}{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}$
可得 ${{\left( \dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}}\right)}^{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 1+\dfrac{{{b}_{n-1}}}{{{b}_{2}}} \right)$，令 $\dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}}={{c}_{n}}$，
即 $2c_{n}^{2}-1={{c}_{n-1}}$，亦即 ${{c}_{n}}=\sqrt{\dfrac{1+{{c}_{n-1}}}{2}}$，由 ${{c}_{1}}=\cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{12}$，
可得 ${{c}_{n}}=\cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n+1}}}$，
故 $\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{n}}}={{c}_{1}}{{c}_{2}}\cdots{{c}_{n-1}}=\cos \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{2}}}\cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{3}}}\cdots \cos \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}=\dfrac{\sin \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}}{{{2}^{n-1}}\sin \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{}}{3\cdot {{2}^{n}}}}=\dfrac{1}{{{2}^{n}}\sin \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}}$
${{b}_{n}}=3\cdot {{2}^{n}}\sin \dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}=\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\cdot \dfrac{\sin\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}}{\dfrac{\mathrm{}\!\!\pi\!\!\text{ }}{3\cdot {{2}^{n}}}}$，
因此 $b=\underset{n\to +\infty}{\mathop{\lim }} {{b}_{n}}=\mathrm{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$．
答案
解析
备注
