三个实数满足 $a+b+c=3$，${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9$，${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=24$，求 ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$，满足 ${{a}_{n}}={{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}}$，且 ${{a}_{1}}=3$，${{a}_{2}}=9$，${{a}_{3}}=27$，
数列递推式为 ${{a}_{n+3}}=p{{a}_{n+2}}-q{{a}_{n+1}}+r{{a}_{n}}$，
其中 $p=a+b+c=3$
$q=ab+bc+ca=\dfrac{{{\left(a+b+c \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{2}=0$
${{\left( a+b+c\right)}^{3}}=\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)+3\left( ab+bc+ca\right)\left( a+b+c \right)-3abc$
解得 $abc=-1$，故 ${{a}_{n+3}}=3{{a}_{n+2}}-{{a}_{n}}$，故 ${{a}_{4}}=69$．
数列递推式为 ${{a}_{n+3}}=p{{a}_{n+2}}-q{{a}_{n+1}}+r{{a}_{n}}$，
其中 $p=a+b+c=3$
$q=ab+bc+ca=\dfrac{{{\left(a+b+c \right)}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}{2}=0$
${{\left( a+b+c\right)}^{3}}=\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)+3\left( ab+bc+ca\right)\left( a+b+c \right)-3abc$
解得 $abc=-1$，故 ${{a}_{n+3}}=3{{a}_{n+2}}-{{a}_{n}}$，故 ${{a}_{4}}=69$．
答案
解析
备注
