已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 和动直线 $l:y=kx+b$（$k,b$ 是参变量，且 $k\ne 0,b\ne 0$）相交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点，平面直角坐标系的原点位 $O$，记直线 $OA,OB$ 的斜率分别为 $k_{OA},k_{OB}$，若 $k_{OA}\cdot k_{OB}=\sqrt{3}$ 恒成立，则当 $k$ 变化时直线 $l$ 恒经过的定点为 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2018年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由 $\begin{cases}
y^2=2px\\
y=kx+b\\
\end{cases}$ 可得 $k^2x^2-2(p-kb)x+b^2=0$，则有 $x_1+x_2=\dfrac{2p-2bk}{k^2},x_1x_2=\dfrac{b^2}{k^2}$，所以 $y_1y_2=(kx_1+b)(kx_2+b)=k^2x_1x_2+bk(x_1+x_2)+b^2=\dfrac{2pb}{k}$．又 $k_{OA}\cdot k_{OB}=\sqrt{3}$ 即 $y_1y_2-\sqrt{3}x_1x_2=0$，所以代入整理可得 $b=\dfrac{2p}{\sqrt{3}}k$，直线方程可化为 $y=k(x+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}p)$，故选 $D$．
y^2=2px\\
y=kx+b\\
\end{cases}$ 可得 $k^2x^2-2(p-kb)x+b^2=0$，则有 $x_1+x_2=\dfrac{2p-2bk}{k^2},x_1x_2=\dfrac{b^2}{k^2}$，所以 $y_1y_2=(kx_1+b)(kx_2+b)=k^2x_1x_2+bk(x_1+x_2)+b^2=\dfrac{2pb}{k}$．又 $k_{OA}\cdot k_{OB}=\sqrt{3}$ 即 $y_1y_2-\sqrt{3}x_1x_2=0$，所以代入整理可得 $b=\dfrac{2p}{\sqrt{3}}k$，直线方程可化为 $y=k(x+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}p)$，故选 $D$．
题目
答案
解析
备注
