已知数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 中，${{a}_{1}}=400$，${{a}_{n+1}}=\dfrac{4{{a}_{n}}\left( {{a}_{n}}+5 \right)}{5}$，求证：${{a}_{n}}$ 是完全平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
验证 ${{a}_{1}}={{20}^{2}}$，${{a}_{2}}={{360}^{2}}$，
设 ${{a}_{n}}=25{{b}_{n}}$，命题可转化为充分命题：
“${{b}_{1}}=16$，${{b}_{n+1}}=4{{b}_{n}}\left(5{{b}_{n}}+1 \right)$，求证 ${{b}_{n}}$ 是完全平方数”
将 ${{b}_{n}}=4{{b}_{n-1}}\left( 5{{b}_{n-1}}+1 \right)$ 代入可得 ${{b}_{n+1}}=4{{b}_{n}}\left( 100b_{n-1}^{2}+20b_{n-1}^{2}+1\right)=4{{b}_{n}}{{\left( 10{{b}_{n-1}}+1 \right)}^{2}}$，故
只要 ${{b}_{n}},{{b}_{n-1}}$ 是完全平方数即可，${{b}_{1}}={{4}^{2}}$，${{b}_{2}}={{72}^{2}}$ 符合，
故命题成立．
设 ${{a}_{n}}=25{{b}_{n}}$，命题可转化为充分命题：
“${{b}_{1}}=16$，${{b}_{n+1}}=4{{b}_{n}}\left(5{{b}_{n}}+1 \right)$，求证 ${{b}_{n}}$ 是完全平方数”
将 ${{b}_{n}}=4{{b}_{n-1}}\left( 5{{b}_{n-1}}+1 \right)$ 代入可得 ${{b}_{n+1}}=4{{b}_{n}}\left( 100b_{n-1}^{2}+20b_{n-1}^{2}+1\right)=4{{b}_{n}}{{\left( 10{{b}_{n-1}}+1 \right)}^{2}}$，故
只要 ${{b}_{n}},{{b}_{n-1}}$ 是完全平方数即可，${{b}_{1}}={{4}^{2}}$，${{b}_{2}}={{72}^{2}}$ 符合，
故命题成立．
答案
解析
备注
