规定：函数 $y=f\left( x \right)$，有限集合 $S$，如果满足：当 $x\in S$，则 $f\left( x \right)\in S$，且 $S\subseteq {{\mathbf{N}}^{*}}$，那么称集合 $S$ 是函数 $f\left( x \right)$ 的生成集，已知减函数 $f\left( x \right)=\dfrac{ax+b}{x-2}\left( x>2 \right)$，$b$ 为不超过 $10$ 的自然数，并且 $f\left( x \right)$ 有一个6个元素的生成集 $S$，求 $a+b$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据不动点方程 $x=\dfrac{ax+b}{x-2}$，即 ${{x}^{2}}-\left( 2+a \right)x-b=0$ 一定有实根．
若只有一个实根一定不符合题意．
故一定有两个实根 $\alpha ,\beta $，其中 $\beta \leqslant 0$
则生成数列 $\dfrac{{{a}_{n}}-\alpha }{{{a}_{n}}-\beta }=\dfrac{{{a}_{1}}-\alpha}{{{a}_{1}}-\beta }{{\left( \dfrac{a-\alpha }{a-\beta } \right)}^{n-1}}$，其中 ${{a}_{1}}\in {{\mathbf{N}}^{*}}$，
分析可得 $\dfrac{a-\alpha }{a-\beta }=-1$，故 $a=2$，
$f\left( x \right)=2+\dfrac{b+4}{x-2}$，故 $b+4$ 有6个因子，故 $b+4=12$，$b=8$．
于是 $a+b=10$．
若只有一个实根一定不符合题意．
故一定有两个实根 $\alpha ,\beta $，其中 $\beta \leqslant 0$
则生成数列 $\dfrac{{{a}_{n}}-\alpha }{{{a}_{n}}-\beta }=\dfrac{{{a}_{1}}-\alpha}{{{a}_{1}}-\beta }{{\left( \dfrac{a-\alpha }{a-\beta } \right)}^{n-1}}$，其中 ${{a}_{1}}\in {{\mathbf{N}}^{*}}$，
分析可得 $\dfrac{a-\alpha }{a-\beta }=-1$，故 $a=2$，
$f\left( x \right)=2+\dfrac{b+4}{x-2}$，故 $b+4$ 有6个因子，故 $b+4=12$，$b=8$．
于是 $a+b=10$．
答案
解析
备注
