证明题，写出必要的步骤
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$．标注答案略解析$\left( a+b\right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\right)={{a}^{3}}-{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}b-a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}$；……2分
-
求证：${{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$．标注答案略解析${{\left(a+b \right)}^{3}}=\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)\left( a+b\right)={{a}^{3}}+2{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}b+2a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$
$={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$．……4分 -
因式分解：${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc$，并证明当 $a,b,c$ 都是正数时，${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\geqslant 3abc$，并指出等号何时成立．标注答案略解析${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\left({{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\right)+{{c}^{3}}-3abc-3{{a}^{2}}b-3a{{b}^{2}}$
$={{\left( a+b\right)}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc\left( a+b+c \right)$
$=\left( a+b+c \right)\left[{{\left( a+b \right)}^{2}}-\left( a+b \right)c+{{c}^{2}} \right]-3abc\left(a+b+c \right)$
$=\left( a+b+c \right)\left({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)$ ……8分
当 $a,b,c$ 均为正数时，$a+b+c>0$，
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left[{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a\right)}^{2}} \right]\geqslant 0$，
故 ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc\ge0$，即 ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}\geqslant 3abc$，
等号成立条件为 $a=b=c$．……10分
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
