求证：三角形的面积是旁心三角形面积和内切圆切点三角形面积的等比中项．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图 ${{I}_{A}}B={{r}_{a}}\csc \dfrac{A+C}{2}={{r}_{a}}\sec \dfrac{B}{2}=4R\sin\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{C}{2}$，
${{I}_{A}}C={{r}_{a}}\sec \dfrac{C}{2}=4R\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}$，（结合了2的结论）
${{I}_{C}}B=4R\sin\dfrac{C}{2}\cos \dfrac{A}{2}$，${{I}_{B}}C=4R\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{A}{2}$
${{I}_{A}}{{I}_{C}}=4R\sin\dfrac{A+C}{2}=4R\cos \dfrac{B}{2}$，${{I}_{A}}{{I}_{B}}=4R\cos\dfrac{C}{2}$
$\angle{{I}_{A}}=\dfrac{B+C}{2}$
${{S}_{{{I}_{A}}{{I}_{B}}{{I}_{C}}}}=8{{R}^{2}}\cos\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
内切圆切点三角形的外接圆半径为 $r=4R\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}$，三个内角大小分别为 $\dfrac{A+B}{2},\dfrac{B+C}{2},\dfrac{C+A}{2}$，
${{S}_{I}}=2{{r}^{2}}\sin\dfrac{A+B}{2}\sin \dfrac{B+C}{2}\sin \dfrac{C+A}{2}=4{{R}^{2}}\sin \dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\sin A\sin B\sin C$
${{S}_{I}}{{S}_{{{I}_{A}}{{I}_{B}}{{I}_{C}}}}=4{{R}^{2}}{{\sin}^{2}}A{{\sin }^{2}}B{{\sin }^{2}}C={{S}^{2}}$．
证毕．
${{I}_{A}}C={{r}_{a}}\sec \dfrac{C}{2}=4R\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}$，（结合了2的结论）
${{I}_{C}}B=4R\sin\dfrac{C}{2}\cos \dfrac{A}{2}$，${{I}_{B}}C=4R\sin \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{A}{2}$
${{I}_{A}}{{I}_{C}}=4R\sin\dfrac{A+C}{2}=4R\cos \dfrac{B}{2}$，${{I}_{A}}{{I}_{B}}=4R\cos\dfrac{C}{2}$
$\angle{{I}_{A}}=\dfrac{B+C}{2}$
${{S}_{{{I}_{A}}{{I}_{B}}{{I}_{C}}}}=8{{R}^{2}}\cos\dfrac{A}{2}\cos \dfrac{B}{2}\cos \dfrac{C}{2}$
内切圆切点三角形的外接圆半径为 $r=4R\sin \dfrac{A}{2}\sin \dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}$，三个内角大小分别为 $\dfrac{A+B}{2},\dfrac{B+C}{2},\dfrac{C+A}{2}$，
${{S}_{I}}=2{{r}^{2}}\sin\dfrac{A+B}{2}\sin \dfrac{B+C}{2}\sin \dfrac{C+A}{2}=4{{R}^{2}}\sin \dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin \dfrac{C}{2}\sin A\sin B\sin C$
${{S}_{I}}{{S}_{{{I}_{A}}{{I}_{B}}{{I}_{C}}}}=4{{R}^{2}}{{\sin}^{2}}A{{\sin }^{2}}B{{\sin }^{2}}C={{S}^{2}}$．
证毕．
答案
解析
备注
