设集合 ${{S}_{n}}=\left\{ 1,2,\cdots ,n \right\}$，若 $X$ 是 ${{S}_{n}}$ 的子集，把 $X$ 中所有数的和称为 $X$ 的“容量”（规定空集的容量为0）．若 $X$ 的容量为奇（偶）数，则称 $X$ 为 ${{S}_{n}}$ 的奇（偶）子集．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：${{S}_{n}}$ 的奇子集与偶子集个数相等；标注答案略解析设 $A$ 是 ${{S}_{n}}$ 的任一奇子集，构造映射 $f$ 如下：
$A\mapsto A-\left\{ 1 \right\}$，若 $1\in A$；$A\mapsto A\bigcup \left\{ 1 \right\}$，若 $1\notin A$．易证 $f$ 是一一映射． -
求证：当 $n\geqslant 3$ 时，${{S}_{n}}$ 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和；标注答案略解析对于任意 $i\in {{S}_{n}}$，包含 $i$ 的子集共有 ${{2}^{n-1}}$ 个，其中的奇子集和偶子集各占一半．
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当 $n\geqslant 3$ 时，求 ${{S}_{n}}$ 的所有奇子集的容量之和．标注答案略解析$\frac{1}{2}\cdot{{2}^{n-1}}\cdot \left( 1+2+\cdots +n \right)=n\left( n+1 \right)\cdot{{2}^{n-3}}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
