已知椭圆 $C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a>b>0 \right)$，动点 $P$ 满足 $PA,PB$ 分别与 $C$ 相切，且 $PA\bot PB$，求证 $P$ 点轨迹是以 $O$ 为圆心，半径为 $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ 的圆．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图分别将 ${{F}_{2}}$ 关于 $PA$，$PB$ 做对称点 ${{F}_{2}}^{\prime }$，${{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$，
由光学性质可得 ${{F}_{1}},A,{{F}_{2}}^{\prime }$ 共线，${{F}_{1}},B,{{F}_{2}}{{^{\prime}}^{\prime }}$ 共线，且 ${{F}_{1}}{{F}_{2}}^{\prime}={{F}_{1}}{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}=2a$，
又由 $\angle APB=90$ °，根据翻折过程，${{F}_{2}}^{\prime},P,{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$ 共线，且 $P{{F}_{2}}=P{{F}_{2}}^{\prime}=P{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$，
可得 ${{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| P{{F}_{2}}\right|}^{2}}={{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| P{{F}_{2}}^{\prime }\right|}^{2}}={{\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}}^{\prime } \right|}^{2}}=4{{a}^{2}}$，
（根据△ $ABC$，$BC$ 边上的中线公式 $m_{a}^{2}=\dfrac{2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}$），
${{\left| OP\right|}^{2}}=\dfrac{2\left( {{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left|P{{F}_{2}} \right|}^{2}} \right)-{{\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}}\right|}^{2}}}{4}=2{{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
由光学性质可得 ${{F}_{1}},A,{{F}_{2}}^{\prime }$ 共线，${{F}_{1}},B,{{F}_{2}}{{^{\prime}}^{\prime }}$ 共线，且 ${{F}_{1}}{{F}_{2}}^{\prime}={{F}_{1}}{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}=2a$，
又由 $\angle APB=90$ °，根据翻折过程，${{F}_{2}}^{\prime},P,{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$ 共线，且 $P{{F}_{2}}=P{{F}_{2}}^{\prime}=P{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$，
可得 ${{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| P{{F}_{2}}\right|}^{2}}={{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| P{{F}_{2}}^{\prime }\right|}^{2}}={{\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}}^{\prime } \right|}^{2}}=4{{a}^{2}}$，
（根据△ $ABC$，$BC$ 边上的中线公式 $m_{a}^{2}=\dfrac{2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}$），
${{\left| OP\right|}^{2}}=\dfrac{2\left( {{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left|P{{F}_{2}} \right|}^{2}} \right)-{{\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}}\right|}^{2}}}{4}=2{{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
答案
解析
备注
