无

略

解法 设 $P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$，设过 $P$ 的直线为 $y-{{y}_{0}}=k\left( x-{{x}_{0}}\right)$，即 $kx-y+{{y}_{0}}-k{{x}_{0}}=0$
（$Ax+By+C=0$ 与 $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，相切等价条件为 ${{A}^{2}}{{a}^{2}}+{{B}^{2}}{{b}^{2}}={{C}^{2}}$）
其与椭圆 $C$ 相切，即 ${{k}^{2}}{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( {{y}_{0}}-k{{x}_{0}}\right)}^{2}}$，整理可得
$\left( {{a}^{2}}-x_{0}^{2}\right){{k}^{2}}+2{{x}_{0}}{{y}_{0}}k+{{b}^{2}}-y_{0}^{2}=0$，由 ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1$，可得 $\dfrac{{{b}^{2}}-y_{0}^{2}}{{{a}^{2}}-x_{0}^{2}}=-1$
即 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
解法如图分别将 ${{F}_{2}}$ 关于 $PA$，$PB$ 做对称点 ${{F}_{2}}^{\prime }$，${{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$，
由光学性质可得 ${{F}_{1}},A,{{F}_{2}}^{\prime }$ 共线，${{F}_{1}},B,{{F}_{2}}{{^{\prime}}^{\prime }}$ 共线，且 ${{F}_{1}}{{F}_{2}}^{\prime}={{F}_{1}}{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}=2a$，
又由 $\angle APB=90$ °，根据翻折过程，${{F}_{2}}^{\prime},P,{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$ 共线，且 $P{{F}_{2}}=P{{F}_{2}}^{\prime}=P{{F}_{2}}{{^{\prime }}^{\prime }}$，
可得 ${{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| P{{F}_{2}}\right|}^{2}}={{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| P{{F}_{2}}^{\prime }\right|}^{2}}={{\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}}^{\prime } \right|}^{2}}=4{{a}^{2}}$，
（根据△ $ABC$，$BC$ 边上的中线公式 $m_{a}^{2}=\dfrac{2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{4}$），
${{\left| OP\right|}^{2}}=\dfrac{2\left( {{\left| P{{F}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left|P{{F}_{2}} \right|}^{2}} \right)-{{\left| {{F}_{1}}{{F}_{2}}\right|}^{2}}}{4}=2{{a}^{2}}-{{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
解法设 $P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right),A\left(a\cos \alpha ,b\sin \alpha \right),B\left( a\cos \beta ,bsin\beta \right)$，
则 $PA:\dfrac{x\cos \alpha }{a}+\dfrac{y\sin \alpha }{b}=1$；$PB:\dfrac{x\cos\beta }{a}+\dfrac{y\sin \beta }{b}=1$
由 $P\in PA,PB$ 及 $PA\bot PB$
则 $\dfrac{{{x}_{0}}\cos \alpha }{a}+\dfrac{{{y}_{0}}\sin\alpha }{b}=1$，$\dfrac{{{x}_{0}}\cos \beta }{a}+\dfrac{{{y}_{0}}\sin \beta}{b}=1$，$\dfrac{\cos \alpha \cos \beta }{{{a}^{2}}}+\dfrac{\sin \alpha \sin\beta }{{{b}^{2}}}=0$
由 ③ 可得 ${{b}^{2}}\sin \alpha \sin \beta +{{a}^{2}}\cos \alpha \cos \beta =0$，
积化和差可得 $\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\cos \left( \alpha +\beta \right)=\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\right)\cos \left( \alpha -\beta \right)$，
由 ①② 解线性方程组可得
${{x}_{0}}=\dfrac{a\left(\sin \alpha -\sin \beta \right)}{\sin\left( \alpha -\beta \right)}$，${{y}_{0}}=-\dfrac{b\left( \cos \alpha -\cos \beta \right)}{\sin \left( \alpha -\beta \right)}$．
$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．