已知椭圆 $C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a>b>0 \right)$，动点 $P$ 满足 $PA,PB$ 分别与 $C$ 相切，且 $PA\bot PB$，求证 $P$ 点轨迹是以 $O$ 为圆心，半径为 $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ 的圆．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$，设过 $P$ 的直线为 $y-{{y}_{0}}=k\left( x-{{x}_{0}}\right)$，即 $kx-y+{{y}_{0}}-k{{x}_{0}}=0$
（$Ax+By+C=0$ 与 $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，相切等价条件为 ${{A}^{2}}{{a}^{2}}+{{B}^{2}}{{b}^{2}}={{C}^{2}}$）
其与椭圆 $C$ 相切，即 ${{k}^{2}}{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( {{y}_{0}}-k{{x}_{0}}\right)}^{2}}$，整理可得
$\left( {{a}^{2}}-x_{0}^{2}\right){{k}^{2}}+2{{x}_{0}}{{y}_{0}}k+{{b}^{2}}-y_{0}^{2}=0$，由 ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1$，可得 $\dfrac{{{b}^{2}}-y_{0}^{2}}{{{a}^{2}}-x_{0}^{2}}=-1$
即 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
（$Ax+By+C=0$ 与 $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$，相切等价条件为 ${{A}^{2}}{{a}^{2}}+{{B}^{2}}{{b}^{2}}={{C}^{2}}$）
其与椭圆 $C$ 相切，即 ${{k}^{2}}{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( {{y}_{0}}-k{{x}_{0}}\right)}^{2}}$，整理可得
$\left( {{a}^{2}}-x_{0}^{2}\right){{k}^{2}}+2{{x}_{0}}{{y}_{0}}k+{{b}^{2}}-y_{0}^{2}=0$，由 ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1$，可得 $\dfrac{{{b}^{2}}-y_{0}^{2}}{{{a}^{2}}-x_{0}^{2}}=-1$
即 $x_{0}^{2}+y_{0}^{2}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$．
答案
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备注
