$O$ 是△ $ABC$ 的外心，$M$ 是 $AB$ 中点，$G$ 是△ $AMC$ 的重心，已知 $OG\bot CM$，求△ $ABC$ 的形状．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
向量法，
$2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}$，
$3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OM}$，
其中 $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right)$，
即 $6\overrightarrow{OG}=3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}$．
由 $OG\bot CM$，即 $2\overrightarrow{CM}\cdot6\overrightarrow{OG}=0$，
利用
即 $0=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC} \right)\cdot\left( 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC} \right)$ $=4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}$
$=4\overrightarrow{OA}\cdot \left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)$
$=4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{CB}$，
即 $O$ 在 $BC$ 边上的高线上，所以 $AB=AC$，即△ $ABC$ 是等腰三角形．
$2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}$，
$3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OM}$，
其中 $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right)$，
即 $6\overrightarrow{OG}=3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}$．
由 $OG\bot CM$，即 $2\overrightarrow{CM}\cdot6\overrightarrow{OG}=0$，
利用
即 $0=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC} \right)\cdot\left( 3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC} \right)$ $=4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}$
$=4\overrightarrow{OA}\cdot \left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)$
$=4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{CB}$，
即 $O$ 在 $BC$ 边上的高线上，所以 $AB=AC$，即△ $ABC$ 是等腰三角形．
答案
解析
备注
