1．如图，在 $\vartriangle ABC$ 中，$\angle BAC=90{}^\circ $，$G$ 为 $AB$ 上给定的一点（$G$ 不是线段 $AB$ 的中点），设 $D$ 为直线 $GC$ 上与 $C$，$G$ 都不相同的任意一点，并且直线 $AD$，$BC$ 交于 $E$，直线 $BD$、$AC$ 交于 $F$，直线 $EF$、$AB$ 交于 $H$，试证明交点 $H$ 与 $D$ 在直线 $CG$ 上的位置无关．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由Ceva定理得 $\dfrac{CF}{FA}\cdot \dfrac{AG}{GB}\cdot\dfrac{BE}{EC}=1$，由Menelaus定理得 $\dfrac{CF}{FA}\cdot\dfrac{AH}{HB}\cdot \dfrac{BE}{EC}=1$，
故 $\dfrac{AG}{GB}=\dfrac{AH}{HB}$，$\dfrac{AG-GB}{GB}=\dfrac{AB}{HB}$，∵ $G$ 为 $AB$ 上给定的一点（$G$ 不是线段 $AB$ 的中点），故 $HB$ 为定值，交点 $H$ 与 $D$ 在直线 $CG$ 上的位置无关．
故 $\dfrac{AG}{GB}=\dfrac{AH}{HB}$，$\dfrac{AG-GB}{GB}=\dfrac{AB}{HB}$，∵ $G$ 为 $AB$ 上给定的一点（$G$ 不是线段 $AB$ 的中点），故 $HB$ 为定值，交点 $H$ 与 $D$ 在直线 $CG$ 上的位置无关．
答案
解析
备注
