设 $P$ 是平行四边形 $ABCD$ 的内部一点，若 $\angle ABP=2\angle ADP$，$\angle DCP=2\angle DAP$，
证明：$AB=BP=CP$．
证明：$AB=BP=CP$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图所示，作变换 $T\left( \overrightarrow{AB}\right)$，则 $A\to B$，$D\to C$；设 $P\to {P}'$，
则有 $P{P}'\parallel AB$，$P{P}'=AB$，且 $\angle BC{P}'=\angle ADP$，$\angle{P}'BC=\angle PAD$，$\angle {P}'PC=\angle DCP$，$\angle BP{P}'=\angle PBA$．
于是，当 $\angle PBA=2\angle ADP$，$\angle DCP=2\angle PAD$ 时，有 $\angle BP{P}'=2\angle BC{P}'$，$\angle {P}'PC=2\angle {P}'BC$；
延长 $P{P}'$ 至 $Q$，使 $PQ=PB$，连 $BQ$，则 $\angle BP{P}'=2\angle PQB$，
所以，$\angle BQ{P}'=\angle BC{P}'$，从而 $Q$、$B$、${P}'$、$C$ 共圆，因此 $\angle {P}'QC=\angle {P}'BC$；又 $2\angle{P}'BC=\angle {P}'PC=\angle {P}'QC+\angle QCP$，所以，$\angle{P}'QC=\angle QCP$，
于是 $PC=PQ=PB$，从而 $P$ 为 $\Delta QBC$ 的外心，但 $Q$、$B$、${P}'$、$C$ 共圆，故 $P{P}'=PB$．
再由 $P{P}'=AB$ 即知 $PB=PC=AB$．
则有 $P{P}'\parallel AB$，$P{P}'=AB$，且 $\angle BC{P}'=\angle ADP$，$\angle{P}'BC=\angle PAD$，$\angle {P}'PC=\angle DCP$，$\angle BP{P}'=\angle PBA$．
于是，当 $\angle PBA=2\angle ADP$，$\angle DCP=2\angle PAD$ 时，有 $\angle BP{P}'=2\angle BC{P}'$，$\angle {P}'PC=2\angle {P}'BC$；
延长 $P{P}'$ 至 $Q$，使 $PQ=PB$，连 $BQ$，则 $\angle BP{P}'=2\angle PQB$，
所以，$\angle BQ{P}'=\angle BC{P}'$，从而 $Q$、$B$、${P}'$、$C$ 共圆，因此 $\angle {P}'QC=\angle {P}'BC$；又 $2\angle{P}'BC=\angle {P}'PC=\angle {P}'QC+\angle QCP$，所以，$\angle{P}'QC=\angle QCP$，
于是 $PC=PQ=PB$，从而 $P$ 为 $\Delta QBC$ 的外心，但 $Q$、$B$、${P}'$、$C$ 共圆，故 $P{P}'=PB$．
再由 $P{P}'=AB$ 即知 $PB=PC=AB$．
答案
解析
备注
