在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中,$E$、$F$、$G$ 点分别为 $A{A_1}$、$AD$、${A_1}{B_1}$ 的中点,求:
【难度】
【出处】
2005年复旦大学保送生招生测试
【标注】
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    利用向量计算空间几何量
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的距离
    >
    点面距离
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    空间的角
    >
    二面角
  • 知识点
    >
    立体几何
    >
    空间几何量
    >
    利用向量计算空间几何量
  1. 点 $B$ 到平面 $EFG$ 的距离;
    标注
    • 知识点
      >
      立体几何
      >
      空间几何量
      >
      利用向量计算空间几何量
    • 知识点
      >
      立体几何
      >
      空间几何量
      >
      空间的距离
      >
      点面距离
    答案
    $\dfrac{\sqrt 3}2$
    解析
    如图建系,$A\left( {1,0,0} \right)$,$B\left( {1,1,0} \right)$,$C\left( {0,1,0} \right)$,$D\left( {0,0,0} \right)$,${A_1}\left( {1,0, 1} \right)$,${B_1}\left( {1,1,1} \right)$,${C_1}\left( {0,1,1} \right)$,${D_1}\left( {0,0,1} \right)$,$E\left( {1,0,\dfrac{1}{2}} \right)$,$F\left( {\dfrac{1}{2},0,0} \right)$,$G\left( {1,\dfrac{1}{2},1} \right)$.于是$$\begin{split}\overrightarrow {EF} &= \left( { - \dfrac{1}{2},0, - \dfrac{1}{2}} \right),\\\overrightarrow {EG} &= \left( {0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right),\end{split}$$因此平面 $EFG$ 的法向量为 $\overrightarrow {{n}} = \left( { - 1, - 1,1} \right)$.
    所以 $\overrightarrow {BE} $ 在 $\overrightarrow {{n}} $ 上的投影为$$\dfrac{{\left| {\left( {0, - 1,\dfrac{1}{2}} \right) \cdot \left( { - 1, - 1,1} \right)} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$$
  2. 二面角 $G - EF - {D_1}$ 的平面角 $\theta $ 的大小.
    标注
    • 知识点
      >
      立体几何
      >
      空间几何量
      >
      空间的角
      >
      二面角
    • 知识点
      >
      立体几何
      >
      空间几何量
      >
      利用向量计算空间几何量
    答案
    $\arccos\dfrac{\sqrt 3}3$
    解析
    因为平面 $EF{D_1}$ 的法向量为 $\left( {0,1,0} \right)$,所以$$\cos \theta = \left| {\dfrac{{\left( {0,1,0} \right)\cdot\left( { - 1, - 1,1} \right)}}{{\sqrt 3 }}} \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3},$$故 $\theta=\arccos\dfrac{\sqrt 3}3$.
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
0.136312s