足够大的圆酒杯的轴截口为函数 $y={{\left| x \right|}^{n}}\left( n\in {{\text{N}}^{*}},n>1 \right)$ 的图像，像酒杯内部放一个半径为 $r$ 的小球，当球的半径 $r$ 最大为多少时，小球仍可以接触到杯底的最低点（用 $n$ 表示）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设圆的半径为 $r$，则其圆心为 $A\left( 0,r \right)$，
则由对称性我们在第一象限
取函数一点 $P\left( x,{{x}^{n}} \right)$ $\left( x>0 \right)$，则 $\left| AP \right|\geqslant r$ 恒成立
即 $\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( {{x}^{n}}-r\right)}^{2}}}\geqslant r$ 对于 $x>0$ 恒成立，
即 $r\leqslant \dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2n}}}{2{{x}^{n}}}$ 恒成立，
若 $n=2$，则 $r\leqslant \dfrac{1}{2}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$ 恒成立，即 $r$ 最大值为 $\dfrac{1}{2}$，
若 $n\geqslant 3$，$\dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2n}}}{2{{x}^{n}}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{{{x}^{n-2}}}+{{x}^{n}} \right)=\dfrac{1}{2}\left( n\cdot \dfrac{1}{n{{x}^{n-2}}}+\left(n-2 \right)\cdot \dfrac{{{x}^{n}}}{n-2} \right)$
$\geqslant \dfrac{1}{2}\cdot\left( 2n-2 \right){{\left[ {{\left( \dfrac{1}{n{{x}^{n-2}}} \right)}^{n}}{{\left(\dfrac{{{x}^{n}}}{n-2} \right)}^{n-2}} \right]}^{\dfrac{1}{2n-2}}}=\dfrac{n-1}{{{n}^{\dfrac{n}{2n-2}}}{{\left(n-2 \right)}^{\dfrac{n-2}{2n-2}}}}$ 即 $r$ 最大值为 $\dfrac{n-1}{{{n}^{\dfrac{n}{2n-2}}}{{\left( n-2\right)}^{\dfrac{n-2}{2n-2}}}}$
综上所述，设 $r$ 最大值为 ${{r}_{m}}\left( n \right)$，则 ${{r}_{m}}\left( n \right)=\left\{ \begin{align}
& \dfrac{1}{2},n=2 \\
& \dfrac{n-1}{{{n}^{\dfrac{n}{2n-2}}}{{\left(n-2 \right)}^{\dfrac{n-2}{2n-2}}}},n\geqslant 3,n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \\
\end{align}\right.$ 。
则由对称性我们在第一象限
取函数一点 $P\left( x,{{x}^{n}} \right)$ $\left( x>0 \right)$，则 $\left| AP \right|\geqslant r$ 恒成立
即 $\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( {{x}^{n}}-r\right)}^{2}}}\geqslant r$ 对于 $x>0$ 恒成立，
即 $r\leqslant \dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2n}}}{2{{x}^{n}}}$ 恒成立，
若 $n=2$，则 $r\leqslant \dfrac{1}{2}+\dfrac{{{x}^{2}}}{2}$ 恒成立，即 $r$ 最大值为 $\dfrac{1}{2}$，
若 $n\geqslant 3$，$\dfrac{{{x}^{2}}+{{x}^{2n}}}{2{{x}^{n}}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{{{x}^{n-2}}}+{{x}^{n}} \right)=\dfrac{1}{2}\left( n\cdot \dfrac{1}{n{{x}^{n-2}}}+\left(n-2 \right)\cdot \dfrac{{{x}^{n}}}{n-2} \right)$
$\geqslant \dfrac{1}{2}\cdot\left( 2n-2 \right){{\left[ {{\left( \dfrac{1}{n{{x}^{n-2}}} \right)}^{n}}{{\left(\dfrac{{{x}^{n}}}{n-2} \right)}^{n-2}} \right]}^{\dfrac{1}{2n-2}}}=\dfrac{n-1}{{{n}^{\dfrac{n}{2n-2}}}{{\left(n-2 \right)}^{\dfrac{n-2}{2n-2}}}}$ 即 $r$ 最大值为 $\dfrac{n-1}{{{n}^{\dfrac{n}{2n-2}}}{{\left( n-2\right)}^{\dfrac{n-2}{2n-2}}}}$
综上所述，设 $r$ 最大值为 ${{r}_{m}}\left( n \right)$，则 ${{r}_{m}}\left( n \right)=\left\{ \begin{align}
& \dfrac{1}{2},n=2 \\
& \dfrac{n-1}{{{n}^{\dfrac{n}{2n-2}}}{{\left(n-2 \right)}^{\dfrac{n-2}{2n-2}}}},n\geqslant 3,n\in {{\mathbf{N}}^{*}} \\
\end{align}\right.$ 。
答案
解析
备注
