正数 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=4$，求证：$\dfrac{1}{11+{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{11+{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{11+{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{11+{{d}^{2}}}\leqslant \dfrac{1}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$f\left( x\right)=\dfrac{1}{11+{{x}^{2}}}$，${f}'\left( x \right)=\dfrac{-2x}{{{\left( 11+{{x}^{2}}\right)}^{2}}}$，${f}'\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{72}$
$f\left( x\right)$ 在 $\left( 1,\dfrac{1}{12} \right)$ 处切线为 $f\left( x\right)=-\dfrac{1}{72}x+\dfrac{7}{72}$
可以证明 $\dfrac{1}{11+{{x}^{2}}}\leqslant\dfrac{-x+7}{72}$ 在 $\left( 0,4 \right)$ 上成立，
即相当于证明 $\left({{x}^{2}}+11 \right)\left( 7-x \right)\geqslant 72$，（$x\in \left( 0,4\right)$）
令 $g\left( x\right)=\left( {{x}^{2}}+11 \right)\left( 7-x \right)$
${g}'\left( x\right)=2x\left( 7-x \right)-\left( {{x}^{2}}+11\right)=-3{{x}^{2}}+14x-11=-\left( x-1 \right)\left( 3x-11 \right)$
$g\left( 1\right)=72$，$g\left( 4 \right)=81$
故 $g\left( x\right)\geqslant 72$
故 $f\left( x\right)\leqslant \dfrac{-x+7}{72}$，
$f\left( a\right)+f\left( b \right)+f\left( c \right)+f\left( d \right)\leqslant \dfrac{28-\left(a+b+c+d \right)}{72}=\dfrac{1}{3}$，
等号当且仅当 $a=b=c=d=1$ 时成立．
$f\left( x\right)$ 在 $\left( 1,\dfrac{1}{12} \right)$ 处切线为 $f\left( x\right)=-\dfrac{1}{72}x+\dfrac{7}{72}$
可以证明 $\dfrac{1}{11+{{x}^{2}}}\leqslant\dfrac{-x+7}{72}$ 在 $\left( 0,4 \right)$ 上成立，
即相当于证明 $\left({{x}^{2}}+11 \right)\left( 7-x \right)\geqslant 72$，（$x\in \left( 0,4\right)$）
令 $g\left( x\right)=\left( {{x}^{2}}+11 \right)\left( 7-x \right)$
${g}'\left( x\right)=2x\left( 7-x \right)-\left( {{x}^{2}}+11\right)=-3{{x}^{2}}+14x-11=-\left( x-1 \right)\left( 3x-11 \right)$
$g\left( 1\right)=72$，$g\left( 4 \right)=81$
故 $g\left( x\right)\geqslant 72$
故 $f\left( x\right)\leqslant \dfrac{-x+7}{72}$，
$f\left( a\right)+f\left( b \right)+f\left( c \right)+f\left( d \right)\leqslant \dfrac{28-\left(a+b+c+d \right)}{72}=\dfrac{1}{3}$，
等号当且仅当 $a=b=c=d=1$ 时成立．
答案
解析
备注
